专题3.6 空间向量与立体几何-【挑战满分】2023年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题3.6 空间向量与立体几何 1．利用向量求异面直线所成的角的方法： 设异面直线AC，BD的夹角为β，则cos β＝． 2．利用向量求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 3．求二面角的方法通常有两个思路： (1)利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大； (2)传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角． (3)要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 4．利用空间向量计算二面角的常用方法： (1)法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； (2)方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【预测题1】（2023·四川广安·统考二模）如图，在三棱锥中，为的内心，直线与交于，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，求二面角的余弦值. 【预测题2】（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）如图，平行六面体中，，， (1)求对角线的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【预测题3】（2023春·上海浦东新·高二开学考试）如图，正方体中，P是AD的中点，． (1)求异面直线和BP所成角的余弦值； (2)求直线和平面所成角的的正弦值． 【预测题4】（2023·湖南长沙·校考一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，． (1)求点A到平面PBC的距离； (2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值． 【预测题5】（2023·天津·校联考一模）已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【预测题6】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，其中，，，平面平面. (1)证明：平面； (2)若锐二面角的余弦值为，求该四棱锥的体积. 【预测题7】（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，． (1)证明：． (2)若，点到平面的距离为，求二面角的余弦值． 【预测题8】（2023·云南曲靖·校考模拟预测）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上的动点（不与A、C重合），平面与棱交于点. (1)求证； (2)若平面平面，，判断是否存在点D使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由. 【预测题9】（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）如图，四棱锥的底面是正方形，点P，Q在侧棱上，E是侧棱的中点． (1)若，证明：BE∥平面； (2)若每条侧棱的长都是底面边长的倍，从下面两个条件中选一个，求二面角的大小． ①平面；②P为的中点． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【预测题10】（2023·湖北·校联考二模）如图，已知四棱锥中，，，，平面，平面平面 (1)证明：； (2)若，且，为的重心．求直线与平面所成角的正弦值． 【预测题11】（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点，点在棱上． (1)证明：； (2)若，，直线与平面所成的角为，求的值． 【预测题12】（2023·广西桂林·校考模拟预测）三棱柱中,侧面是矩形,是的中点,且. (1)证明:直线为异面直线和的公垂线; (2)若和的距离为4,二面角为,求直线与平面所成角的正弦值. 【预测题13】（2023·天津南开·统考一模）如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点. (1)当时， （i）证明： 平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【预测题14】（2023·北京·校考模拟预测）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为60°，，，，，． (1)求证：； (2)求直线DE与平面AEF所成角的正弦值． (3)直接写出的值，使得，且三棱锥的体积为． 【预测题15】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，已知，是的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值. 【预测题16】（2023·天津滨海