专题3.5 随机变量及其分布-【挑战满分】2023年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题3.5 随机变量及其分布 1．判断随机变量是否服从二项分布： (1)看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为，； (2)看是否为次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数． 2．求随机变量的期望与方差的方法及步骤： (1)理解随机变量的意义，写出可能的全部值； (2)求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； (3)由期望和方差的计算公式，求得数学期望； (4)若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解． 【预测题1】（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）在卡塔尔世界杯期间，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计人数如下表所示： 班级 1 2 3 4 5 喜欢观看世界杯的人数 39 35 38 38 36 班级 6 7 8 9 10 喜欢观看世界杯的人数 39 40 37 40 38 (1)该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率； (2)从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X，用上表中的频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望． 【预测题2】（2023·全国·模拟预测）为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制定奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在分内的市民获二等奖，成绩在分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖．随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图． (1)现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率． (2)若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果四舍五入到整数）；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大于300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【预测题3】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）随着社会的进步，科技的发展，越来越多的大学本科生希望通过保研或者考研进入更理想的大学进行研究生阶段的学习．某大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了400名大学生进行调查，将收集到的学习时间（单位：小时）数据分成5组：，，，，（学习时间均在内），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求m的值，并估计这400名大学生每天课余学习时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)按分层抽样的方法从学习时间在和组中抽出8人，再从这8人中随机抽取3人，记X表示抽到的3人中学习时间在组中的人数，求X的分布列和数学期望． 【预测题4】（2023·新疆阿克苏·校考一模）“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值． 【预测题5】（2023·全国·模拟预测）图书可分为社会科学类图书和自然科学类图书．某高校为了调查本校学生在课余时间的阅读情况，随机调查了60名学生的阅读倾向，整理数据（单位：人）如下表： 本科生 研究生 社会科学类 30 10 自然科学类 10 10 (1)判断能否有90%的把握认为本科生与研究生的阅读倾向存在差异． (2)若从全体本科生中随机抽出4名学生，设为倾向于阅读社会科学类图书的人数，用样本的频率估计概率，求和的数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 【预测题6】（2023·全国·模拟预测）在购物节活动期间，某