重庆市长寿中学校2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题

重庆市长寿中学校2024届高二下•半期考试 数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 3、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.10分从这个数字取出个数字，试问： （1）有多少个没有重复数字的排列方法 （2）能组成多少个没有重复数字的三位数？ （3）能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？ 注：要有适当的文字说明，最终结果用数字表示 18.12分已知函数． （1）设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值； 19.12分已知函数在处有极值． （1）求，的值； （2）求在上的最小值． 20.12分某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量单位：千克与销售价格元千克近似满足关系式，其中，为常数。已知销售价格为元千克时，每日可售出系列千克． （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为元千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大． 21.12分已知函数，，其中为常数． （1）当时，试判断的单调性； （2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围； （3）设函数，当时，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围． 22.（12分）已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，判断的零点个数，并加以证明； （3）当时，证明：存在实数，使恒成立． 重庆市长寿中学校2024届高二下•半期考试数学参考答案 1-5、BBBCD 1-8、BAA 9、AC 10、ABD 11、ACD 12、ABD 13、7 14、696 15、135° 16、4 17、解：任取个数字，然后再排列，故有个．         第一位数字不能为，故有种取法，其它个位置任意，故有， 个位从，，，，这五个数中任选个，有种取法； 百位从除和个位数外个数中任选一个，有种取法， 十位从其他个数中任选一个，有种取法， 共有个，  18、解：时，，是偶函数， 故，， ，故， 故切线方程是：， 即； ，， ， 时，，在递增，函数无极值， 时，令，解得：，令，解得：， 故在递增，在递减， 故的最大值是；无极小值； 19、解：因为在处有极值， 所以即， 解得：或， 当时，满足题意， 当时，不合题意， 所以； ， 令得，， 列表如下： 递增 递减 递增 因为，， 所以最小值为．  20、解：有题意可知，当时，即，解得， 所以，． 设该商场每日销售系列所获得的利润为， 则， ，令， 得或舍去， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 故． 所以当销售价格为元千克时，系列每日所获得的利润最大．  21、解：当时，，定义域为， 因为在定义域上恒成立， 所以在上是单调递增函数； 的定义域为， 因为在上为增函数， 所以对恒成立， 即对恒成立， 由基本不等式，当且仅当时，的最小值为， 所以的最大值为， 所以，即实数的取值范围； 由题意，等价条件为， 当时，， ， 令，得， 令，得， 易得在上递增，在上递减， 在上，， 由二次函数的图象知，， 所以 ， 所以， 综上所述，实数的取值范围为  22、解：Ⅰ时，，， 故，，故切线方程为：， 即； Ⅱ存在一个零点，理由： ，， 显然恒成立，故在上是增函数， 又时，，时，， 故存在唯一的零点，使得； Ⅲ，， ，故是增函数， 而当时，，时，， 故存在，使得， 且时，，时，， 故是的极小值点，也是最小值点， 存在实数，使恒成立． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $