第六章 第四节　数列求和-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第四节　数列求和 [高考要求]　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n项和相关的问题． [对应学生用书P117] 知识点　常用的数列求和的方法 1．公式法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋(其中a1为首项，d为公差). ②等比数列的前n项和公式： 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝＝(其中a1为首项，q为公比). (2)分组求和法 一个数列的通项是由若干个等差或等比或可求和的数列的通项组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前一项和即可用倒序相加法． (2)并项求和法 数列{an}满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时，运用并项法求其前n项和．如通项公式形如an＝(－1)nf(n)的数列． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和时即可用错位相减法． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　) (2)当n≥2时，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋ann时只要把该式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和．(　　) (4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　) A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 答案　D 3．已知数列{an}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2·a10.设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b9＝2a7，则S17＝(　　) A.34 B．39 C．51 D．68 答案　D 4．(易错)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． 解析　由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，f＋f＝4，所以2an＝(f(0)＋f(1))＋＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1). 答案　an＝2(n＋1) [对应学生用书P118] 考点一　分组求和(师生共研) 　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． [解析]　(1)根据题设中的递推关系可得bn＋1＝bn＋3，从而可求{bn}的通项． (2)根据题设中的递推关系可得{an}的前20项和为S20，可化为S20＝2(b1＋b2＋…＋b9＋b10)－10，利用(1)的结果可求S20. (1)由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5， 又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2， 故a2k＋2＝a2k＋3，即bn＋1＝bn＋3，即bn＋1－bn＝3， 所以{bn}为等差数列，故bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1. (2)设{an}的前20项和为S20，则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20， 因为a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1， 所以S20＝2(a2＋a4＋…＋a18＋a20)－10 ＝2(b1＋b2＋…＋b9＋b10)－10＝2×－10＝300. [方法策略] 将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是通项变形． (2022·济南模拟)已知数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3，a1＝1，a2＝2. (1)记bn＝a2n－1，求数列{bn}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和为Sn，求S30. 解析　(1)an＋2＋(－1)nan＝3， 令n取2n－1，则a2n＋1－a2n－1＝3， 即bn＋1－bn＝3，b1＝a1＝1， 所以数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以bn＝3n－2. (2)令n取2n，则a2n＋2＋a2n＝3， 所以S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)， 由(1)可知，a1＋a3＋…＋a29＝b1＋b