第九章 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 [高考要求]　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． [对应学生用书P180] 知识点一　直线与圆的位置关系 (半径为r，圆心到直线的距离为d) 相离 相切 相交 图形 量化 方程 观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何 观点 d＞r d＝r d＜r 知识点二　圆与圆的位置关系 (两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜ d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(　　) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　　) (3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　) (4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 答案　B 3．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________. 答案　内切 4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为， 所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 答案　[－3，1] 5．(易错)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________． 解析　由 得x－y＋2＝0. 又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2. 答案　2 [对应学生用书P181] 考点一　直线与圆位置关系的判定(师生共研) 　(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 (2)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞) (3)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　) A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1) [解析]　(1)法一　(代数法)由 消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交． 法二　(几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交． 法三　易得直线l过定点(1，1).把点(1，1)代入圆的方程有1＋0＜， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l与圆C相交． (2)∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆， ∴8－4b＞0，即b＜2. ∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)， ∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部， ∴6＋b＜0，解得b＜－6， ∴b的取值范围是(－∞，－6).故选C. (3) 计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图