第九章 第二节　两直线的位置关系-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第二节　两直线的位置关系 [高考要求]　1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.3.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． [对应学生用书P174] 知识点一　判定两条直线的位置关系 1．两条直线的平行 (1)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． (2)当l1，l2都垂直于x轴且不重合时，则 l1∥l2． (3)若l：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1；l1与l2重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0). 2．两条直线的垂直 (1)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． (2)若两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直． (3)若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 3．直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2相交的条件是k1≠k2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的条件是A1B2≠A2B1． [微提醒]　在判断两条直线的位置关系时，容易忽视斜率是否存在，若两条直线斜率存在，则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑． 知识点二　距离公式 1．两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P2P2|＝．特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 3．两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． [微提醒]　利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为x，y的系数对应相等的一般式． 1．两直线平行的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). 2．两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　) (4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　) (5)两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．(教材改编)已知直线l1：ax＋y＋5＝0，l2：x－2y＋7＝0.若l1∥l2，则a的值为________，若l1⊥l2，则a的值为________. 答案　－　2 3．直线y＝kx－k－2恒过定点________． 解析　y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.当x＝1， y＝－2时恒成立，∴直线恒过定点(1，－2) 答案　(1，－2) 4．与直线7x＋24y－5＝0平行，并且到它的距离为4的直线方程是________． 答案　7x＋24y＋95＝0或7x＋24y－105＝0 5．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________. 解析　在直线x－2y＋1＝0上任取两点(1，1)，，这两点关于直线x＝1的对称点分别为(1，1)，，过这两点的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 答案　x＋2y－3＝0 [对应学生用书P175] 考点一　两条直线的平行与垂直(师生共研) 　(1)已知直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，且l1∥l2，则k的值为________； (2)若直线l1：(a＋1)x＋ay－1＝0与l2：ax＋(3－2a)y＝0互相垂直，则实数a的值为________． [解析]　(1)∵直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，且l1∥l2，则k×k＝1×1，解得k＝－1或