第八章 第二节　空间几何体的表面积、体积-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第二节　空间几何体的表面积、体积 [高考要求]　了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式． [对应学生用书P150] 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l 知识点二　空间几何体的表面积与体积公式 表面积 体积 柱体(棱柱 和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥 和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台 和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下 ＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的球心与半径 (1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长). (2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长). (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长). 2．正四面体的外接球、内切球的球心和半径 (1)正四面体的外接球与内切球即相应正方体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分). (2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长). (3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　) (3)球的体积之比等于半径比的平方．(　　) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(　　) (5)长方体既有外接球又有内切球．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．(教材改编)如果圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是________． 解析　设底面圆半径为r，则πr2＝S，r＝.侧面展开图边长为2πr＝2π·，所以侧面积为4π2·＝4πS. 答案　4πS 3．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________． 解析　 利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案． ∵V＝π·62·h＝30π， ∴h＝， ∴l＝＝＝， ∴S侧＝πrl＝π×6×＝39π. 故答案为39π. 答案　39π 4．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________． 解析　∵πr3＝4π，∴r＝.∴S球＝4πr2＝12π. 答案　12π 5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为________． 解析　 由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A­BCD所示，故该几何体的体积V＝××1×2×2＝. 答案　 [对应学生用书P151] 　考点一　空间几何体的表面积(师生共研) 　(1)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(　　) A．6＋4 B．4＋4 C．6＋2 D．4＋2 (2)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________． [解析]　(1) 由三视图知该几何体为如图所示的三棱锥P­ABC，其中PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AP＝2，故其表面积S＝×3＋×(2)2×sin 60°＝6＋2，故选C. (2)易知该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为4，1，2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋×2π×1＝26. [答案]　(1)C　(2)26 [方法策略] 空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　) A．6π＋1 B．＋1 C．＋ D．＋1 解析　由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋＋＋1＝＋1，故选D. 答案　D 考点二　空间几何体的体积(多维探究) 方法一　直接利用公式求体积 　(2022·全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(　　) A．8 B．12 C．16