第05讲：导数中的零点问题-冲刺2023年高考数学压轴题——导数专题全面复习讲义

第五讲：导数中的零点问题 考点1：零点个数 利用函数的单调性，求解函数的极值和最值（注意端点取不到时用极限），进行与零进行比较，然后讨论出零点的个数. 考点2：零点个数求参 （1）参变分离的方法，转化为两个函数的交点问题，利用函数的图象，找到参数取值范围（注意区间端点处的极限值） （2）利用分类讨论的方法，求解函数的极值和最值，与零进行比较，从而求解出参数的取值范围. 考点3：证明零点个数 利用函数的单调性，通过求解函数的极值，最值，或者试数的方法，找到与零之间比较的数字，从而判断出区间上的零点的个数 考点4：隐零点求解函数相关问题 当令无法求解出对应的函数值时，则用隐零点代替对应的函数值，并判断函数的单调性，求解出对应的函数相关问题（注意，之间的转化） 考点5：零点偏移 根据两个零点的比较，构造出一个函数，利用构造函数的单调性，进行对应的证明，也可以利用对数均值不等式，进行式子变形证明. 题型目录： 题型一：讨论函数零点个数 题型二：（基础）利用函数极值（已知零点个数）求参 题型三：参变分离（已知零点个数）求参 题型四：（拔高）利用函数极值（已知零点个数）求参 题型五：证明零点个数（隐零点） 题型六：同构特殊函数模型（已知零点个数）求参 题型七：零点偏移 题型八：零点之间的关系 题型一：讨论函数零点个数 例题．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的最小值； (3)求函数的零点个数，并说明理由． 变式训练1．已知函数. (1)求函数的极值； (2)画出函数的大致图像，并结合图像，判断方程的解的个数. 变式训练2．已知函数． (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论方程的解的个数． 变式训练3．已知函数. (1)求的单调区间； (2)讨论方程零点的个数. 题型二：（基础）利用函数极值（已知零点个数）求参 例题1．已知函数在及处取得极值． (1)求的值； (2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 变式训练1．已知函数在时有极值0． (1)求函数的解析式； (2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围． 变式训练2．设为实数，函数. (1)求的极值； (2)若曲线与轴仅有一个交点，求的取值范围. 变式训练3．设函数． (1)当时，求的极值； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围． 题型三：参变分离（已知零点个数）求参 例题1．设函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个零点，，求实数a的范围. 变式训练1．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围. 变式训练2．已知函数． (1)若，求曲线的斜率等于3的切线方程； (2)若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围． 变式训练3．已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 题型四：（拔高）利用函数极值（已知零点个数）求参 例题．已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 变式训练1．已知函数． (1)讨论的单调性 (2)若函数有两个不同的零点，求a的取值范围． 变式训练2．已知 (1)当时，求证：； (2)若有两个零点，求a的取值范围. 变式训练3．已知. (1)若函数的图象在点处的切线方程为，求，的值； (2)当时，函数有两个零点，求的取值范围. 题型五：证明零点个数（隐零点） 例题．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)证明函数只有一个零点． 变式训练1．已知函数，，其中为自然对数的底数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：函数有唯一零点； 变式训练2．已知函数． (1)若，求的极小值． (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：有且只有个零点． 变式训练3．已知函数，为的导函数，证明： (1)在区间存在唯一极大值点； (2)在区间存在唯一极小值点； (3)有且只有一个零点. 题型六：同构特殊函数模型（已知零点个数）求参 例题1．已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 变式训练1．已知，函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若曲线与直线有且只有一个公共点，求． 变式训练2．已知函数与（，且） (1)求在处的切线方程； (2)若，恰有两个零点，求的取值范围 变式训练3．已知，函数，. (1)若，求函数的极小值； (2)若函数存在唯一的零点，求的取值范围. 题型七：零点偏移 例题1．已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 变式训练1．设函数. (1)判断的单调性； (2)若方程有两个相异实根，，求实数的取值范围，并证明：. 变式训练2．已知函数． (