第四板块 大题专攻(一) 概率、统计及统计案例(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　概率、统计及统计案例 　用样本估计总体 [典例]　某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩(分) 80 85 71 92 87 乙的成绩(分) 90 76 75 92 82 (1)若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由． (2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案．方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰；方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰．已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由． [解]　(1)选派乙参加数学竞赛较合适．理由如下： 由题知甲＝(80＋85＋71＋92＋87)＝83， 乙＝(90＋76＋75＋92＋82)＝83， ∴甲成绩的方差s＝(xi－甲)2＝50.8，乙成绩的方差s＝2＝48.8， 由甲＝乙，s>s，可知甲、乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定， 故选派乙参加数学竞赛较合适． (2)5道备选题中学生会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F， 方案一：学生从5道备选题中任意抽出1道的结果有a，b，c，E，F，共5种， 抽中会的备选题的结果有a，b，c，共3种， ∴此方案学生可参加复赛的概率P1＝. 方案二：学生从5道备选题中任意抽出3道的结果有 (a，b，c)，(a，b，E)，(a，b，F)，(a，c，E)，(a，c，F)，(a，E，F)，(b，c，E)，(b，c，F)，(b，E，F)，(c，E，F)，共10种， 抽中至少2道会的备选题的结果有(a，b，c)，(a，b，E)，(a，b，F)，(a，c，E)，(a，c，F)，(b，c，E)，(b，c，F)，共7种， ∴此方案学生可参加复赛的概率P2＝. ∵P1<P2，∴推荐的选手选择方案二进入复赛的可能性更大． [提分技巧] 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．　　 [对点训练] 1．(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s. (1)求，，s，s. (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，那么认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)． 解：(1)∵＝×(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7)＝10，＝×(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5)＝10.3，∴s＝×(0.22＋0.32＋02＋0.22＋0.12＋0.22＋02＋0.12＋0.22＋0.32)＝0.036，s＝×(0.22＋0.12＋0.22＋0.32＋0.22＋02＋0.32＋0.22＋0.12＋0.22)＝0.04. (2)∵－＝10.3－10＝0.3， 2＝2＝2， ∴－＝0.3＝2×0.15＝2×＝2×>2×，满足－≥2 ， ∴新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． 2．某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下： (1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数； (2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率； (3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01)． 解：(1)由题意知