第五板块 小题考法(二) 圆锥曲线的方程与性质(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(二)　圆锥曲线的方程与性质 　圆锥曲线的定义及标准方程 [讲评提能] [典例1]　(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　 ) A．13 B．12 C．9 D．6 [解析]　由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以由基本不等式，得|MF1|·|MF2|≤2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C. [答案]　C [典例2]　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为4，离心率e＝2，点Q为双曲线右支上的一点，点P(0,4)．当|QF1|＋|PQ|取最小值时，|QF2|的值为(　 ) A．6(＋1) B．6(－1) C．6－1 D．6＋1 [解题微“点”] 切入点 由题意求得a，b，c，即可得双曲线的方程 迁移点 由双曲线的定义确定当|QF1|＋|PQ|取最小值时Q点的位置，利用方程组求得Q点坐标 关键点 利用定义求双曲线中和的最值 [解析]　由题意可得2a＝4，a＝2，又e＝2，故c＝4，所以b2＝c2－a2＝12，则双曲线方程为－＝1， 结合双曲线定义可得|QF1|＋|PQ|＝|QF2|＋4＋|PQ|＝|QF2|＋|PQ|＋4， 如图所示，连接PF2，交双曲线右支于点M，即当P，Q，F2三点共线，即点Q在点M位置时，|QF1|＋|PQ|取最小值，此时直线PF2方程为y＝－x＋4，联立－＝1，解得点Q的坐标为(3－2,6－3)(Q为双曲线右支上的一点)，故|QF2|＝ ＝6(－1)． [答案]　B [提分技巧] 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)． [提醒]　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的思路方法 (1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．　　 [过关训练] 1．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：选B　依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1.故选B. 2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点，若sin∠MFG＝，则抛物线C的方程是(　 ) A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：选C　作MD⊥EG于点D，将点M(x0,2)代入抛物线方程得8＝2px0，结合抛物线的性质得|DM|＝x0－，在Rt△MDF中，结合sin ∠MFG＝， 得＝，即|DM|＝|MF|＝，所以x0－＝，解得x0＝p.再结合2px0＝8，解得p＝2(负值已舍去)，因而抛物线方程为y2＝4x.故选C. 3．已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P为双曲线上一点，若|PF1|，|PF2|分别为方程4x2＋mx＋5＝0的两个不相等的根，则实数m的值为(　 ) A．－9 B．－12 C．－15 D．－16 解析：选B　由题意，||PF1|－|PF2||＝2a＝2，|PF1|＋|PF2|＝－，|PF1|·|PF2|＝，由(|PF1|－|PF2|)2＝(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1|·|PF2|＝4，得4＝2－4×，m＝±12， 又|PF1|＋|PF2|>0，得m<0，则m＝－12，选B. 　圆锥曲线的几何性质 [讲评提能] [典例1]　已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，双曲线E的一条渐近线上一点M满足||＝2b，若点M的坐标为，则双曲线E的实轴长为(　 ) A．2 B．3 C．4 D. [解析]　由题意得，右焦点F(c,0)， 由点M满足||＝2b， 可得2＋＝4b2. 由渐近线y＝x过点M，得a＝b， 又c2＝a2＋b2，所以4b2＝c2， 得2＋＝c2，解得c＝，从而a＝