第五板块 大题专攻(一) 直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题 　直线与圆锥曲线的位置关系的简单应用 [典例]　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，圆E：(x－a)2＋y2＝r2(r>0)与双曲线相交于点A，B(点B，A分别位于平面直角坐标系xOy的第一、二象限)，且双曲线的虚轴长为2，离心率e＝. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线AB与两渐近线l1，l2分别交于M，N两点，若△MON的面积为，求直线AB的斜率． [解]　(1)由题意得，b＝1，e＝＝，解得a＝2， 所以双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)由题意得，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－4x＋3－r2＝0， 所以x1＋x2＝. 设直线AB的方程为y＝kx＋m， 则由得(1－4k2)x2－8kmx－4m2－4＝0， 所以x1＋x2＝＝，所以＝①， 由得xN＝，由得xM＝，所以S△MON＝·m·＝＝②. 由①②得，m＝2k③，将③代入①式得，k＝±. 由于点B，A分别位于第一、二象限， 所以m＝2k>0，所以k＝. [提分技巧] 解决直线与椭圆的综合问题时的注意点 (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件； (2)强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题； (3)涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．　　 [对点训练] 已知抛物线C：x2＝4y，过点P(0,2)的直线与x轴交于点M，与C交于A，B两点，O为坐标原点，直线BO与直线y＝－m(m>0)交于点N. (1)若直线AN平行于y轴，求m； (2)设＝λ，＝μ，求λ＋μ. 解：(1)由题意知直线AB的斜率存在且不为0， 设其方程为y＝kx＋2(k≠0)， 令y＝0，解得x＝－，故M. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得x2－4kx－8＝0， 其中Δ＝16k2＋32>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8， 则x1≠0，x2≠0， 直线BO的方程为y＝x＝x＝x. 联立方程y＝－m，解得x＝－，则N. 若直线AN平行于y轴，则x1＝－， 即x1x2＝－4m＝－8，解得m＝2. (2)由题意知， ＝，＝(－x1,2－y1)，＝，＝(－x2,2－y2)． 由＝λ，得＝λ(－x1,2－y1)， 则x1＋＝－λx1，即λ＝－1－， 同理可得μ＝－1－， 所以λ＋μ＝－2－·＝－2－·＝－2－·＝－1. 　证明问题 [典例]　已知F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝k(x－2)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)当k＝－时，求△FMN的面积； (2)设直线FM，FN分别与直线x＝1交于两点P，Q，线段MN，PQ的中点分别为G，H，点A.当k变化时，证明：A，G，H三点共线． [解题微“点”] 切入点 (1)联立直线与椭圆的方程，求出M，N的坐标，即可求△FMN的面积； 障碍点 (2)利用直线AG与直线AH的斜率相等证明A，G，H三点共线 求直线AG与AH的斜率要利用设而不求的思想，注意运算时要严谨细心，不要出错 [解]　(1)当k＝－时，由 解得M，N的坐标分别为(0,1)，， 则|MN|＝. 又因为左焦点F(－1,0)到直线l：y＝－(x－2)的距离为d＝， 所以△FMN的面积为|MN|d＝××＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0. 由判别式Δ＝(－8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)>0， 解得k2<.所以x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝. 所以点G的坐标为. 由题意，k2≠，直线AG的斜率kAG＝＝.易知直线FM的方程为y＝(x＋1)，则点P的坐标为. 同理点Q的坐标为. 因为＋ ＝ ＝ ＝＝， 所以点H， 所以直线AH的斜率kAH＝＝. 因为kAG＝kAH，所以A，G，H三点共线． [提分技巧] (1)圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上、直线或曲线位置关系等． (2)一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证，但是解答此类问题最为关键的是把几何关系转化为代数关系，利用代数运算进行推证，如本例把A，G，H三点共线转化为kAG＝kAH.　　 [对点训练] 　已知点F(，0)，动点M(x，y)到直线l：x＝2的距离为d，且d＝|MF|，记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)过M作圆O：x2＋y2＝的两条切线MP，MQ(其中P，Q为切点)，直线MP，MQ分别交C的另一点为A，B，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明