第五板块 大题专攻(二) 圆锥曲线中的最值、范围问题(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　圆锥曲线中的最值、范围问题 　最值问题 [典例]　(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． [解题微“点”] 切入点 (1)由抛物线的定义可得|MF|＝p＋，即可得解； (2)设点的坐标及直线MN：x＝my＋1，由根与系数的关系及斜率公式可得kMN＝2kAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，结合根与系数的关系可解 障碍点 注意直线MN方程的设法及两角差正切公式的应用 [解]　(1)当MD⊥x轴时，有|MF|＝＋p＝3，得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)根据(1)知F(1,0)，D(2,0)． 设M，N，A，B，直线MN：x＝my＋1， 由可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4， 由斜率公式可得kMN＝＝， kAB＝＝， 直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，Δ>0，y1y3＝－8， 所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1， 所以kAB＝＝＝. 又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β， 所以kAB＝tan β＝＝， 若要使α－β最大，则β∈， 设kMN＝2kAB＝2t>0，则tan(α－β)＝＝＝≤＝， 当且仅当＝2t即t＝时，等号成立， 所以当α－β最大时，kAB＝， 设直线AB∶x＝y＋n， 代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0， Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，所以直线AB的方程为x－y－4＝0. [提分技巧]　求解圆锥曲线最值问题的2种方法 几何法 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解 代数法 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 [对点训练] 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 解：(1)由题设可知解得 则双曲线C的方程为－y2＝1. (2)设点M的横坐标为xM>0. 当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2﹔ 当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0， 整理得4k2＝m2＋1， 则x1＋x2＝－＝－＝－， 则xM＝＝－>0，即km<0， 则x＝＝4＋>4，即xM>2， 故此时点M到y轴的距离大于2. 综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，A，B为其左、右顶点，G点坐标为(c,1)，c为椭圆的半焦距，且有·＝0.椭圆E的离心率e＝. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H落在直线y＝x上，求△MNO面积的最大值． 解：(1)依题意：A(－a,0)，B(a,0)， 则＝(c＋a,1)，＝(c－a,1)， 所以·＝c2－a2＋1＝0，即b2＝1， 又＝，解得c＝，a＝2，b＝1. 所以椭圆方程为＋y2＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)，则2y0＝x0， 因为M，N在椭圆上，有 所以kMN＝＝－＝－＝－， 设直线MN：y＝－x＋m(m≠0)． 联立得2x2－4mx＋4m2－4＝0，由Δ＝32－16m2>0，得m∈(－，)． 所以x1＋x2＝2m，x1x2＝2m2－2. 所以|x1－x2|＝2， |MN|＝ ·2＝， 又原点O到直线MN的距离d＝＝， 故S△MNO＝d|MN|＝ ≤＝1. 当且仅当m2＝2－m2，即m＝±1时等号成立，故△MNO面积的最大值为1. 　范围问题 [典例]　如图，已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点(B在x轴上方)，连接BF2并延长，交椭圆C于点M. (1)若AB⊥x轴，求直线BM的方程； (2)求·的取值范围． [解题微“点”] 切入点 (1)由AB⊥x轴可得B点坐标，从而得直线BM的斜率； (2)分类讨论直线BM的斜率是否存在．若不存在，直接可得；若存在，设出BM的方程，联立方程利用根与系数的关系将·转化为代数形式 障碍点 忽视对直线BM斜率是否存在