第六板块 小题考法(二) 基本初等函数及函数的应用(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(二)　基本初等函数及函数的应用 　基本初等函数的图象和性质 [讲评提能] [典例]　(1)设a＝30.7，b＝－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．a<b<c B.b<a<c C．b<c<a D.c<a<b (2)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是(　 ) [解析]　(1)由题知c＝log0.70.8<1，b＝－0.8＝30.8，易知函数y＝3x在R上单调递增，所以b＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以c<a<b.故选D. (2)由题意知，函数y＝xa(x>0)与y＝logax(x>0)， 选项A：没有幂函数图象，不符合； 选项B：y＝xa(x>0)中a>1，y＝logax(x>0)中0<a<1，不符合； 选项C：y＝xa(x>0)中0<a<1，y＝logax(x>0)中a>1，不符合； 选项D：y＝xa(x>0)中0<a<1，y＝logax(x>0)中0<a<1，符合． [答案]　(1)D　(2)D [提分技巧] (1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围． (2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．　　 [过关训练] 1．设x＝ln 2，y＝lg 2，则(　 ) A．x－y>xy>tan(x＋y) B．x－y>tan(x＋y)>xy C．tan(x＋y)>xy>x－y D．tan(x＋y)>x－y>xy 解析：选D　由题意0<x＝ln 2<ln e＝1,0<y＝lg 2<lg＝，＝log2e，＝log210，得＋＝log2e＋log210＝log2(10e)>1，即x＋y>xy，又－＝log210－log2e＝log2>1，即x－y>xy，当x∈时，tan x>x，又0<x＋y<<，故tan(x＋y)>x＋y，综上tan(x＋y)>x＋y>x－y>xy.故选D. 2．已知f(x)＝ex－1＋4x－4，若正实数a满足floga＜1，则a的取值范围为(　 ) A．0，∪，＋∞ B.，＋∞ C．0，∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：选C　因为y＝ex－1与y＝4x－4都是R上的增函数，所以f(x)＝ex－1＋4x－4是R上的增函数，又因为f(1)＝e1－1＋4－4＝1，所以floga＜1＝f(1)等价于loga＜1.由1＝logaa，知loga＜logaa，当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故a＜，从而0＜a＜； 当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，故a＞，从而a＞1. 综上所述， a的取值范围为∪(1，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝，给出下列结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在(0，＋∞)上是增函数；③若t>0，则点(t，f(t))与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为________． 解析：函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．对于①，因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故①正确；对于②，取特殊值：由f(2)＝＝>2，f(10)＝<1，得到f(2)>f(10)，不符合增函数，故②错误；对于③，当t>0时，点(t，f(t))与原点连线的斜率为＝.因为t>0，所以2t>1，所以2t－2－t>0，所以＝>0，故③正确．所以正确结论的序号为①③.故答案为①③. 答案：①③ 　函数模型的实际应用 [讲评提能] [典例]　(1)民以食为天，科学研究表明：温度太高的食物能对消化道黏膜造成伤害，温度太低的食物容易引起消化道不适．因此，适宜的进食温度在10 ℃到40 ℃左右，大量实验数据表明：把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0，那么t min后物体的温度θ(单位：℃)满足公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(其中k为常数)．现有60 ℃的物体放在20 ℃的空气中冷却，2 min后物体的温度是40 ℃.现将一盘出锅温度是100 ℃的美食放在20 ℃的空气中冷却，为达到适宜的进食温度，至少应冷却(　 ) A．2 min B.3 min C．4 min D.5 min (2)已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则x的取值范围是(　 ) A．(1,2) B.(1,2] C．(8,9) D.[8,9) [解析]　(1)∵现有60 ℃的物体放在2