第六板块 小题考法(三) 利用函数研究函数的性质(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(三)　利用导数研究函数的性质 　导数的几何意义 1．(2022·张家口模拟)已知函数f(x)＝－2x＋ln x，则函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为(　 ) A．2x＋y－2＝0 B.2x－y－1＝0 C．2x＋y－1＝0 D.2x－y＋1＝0 解析：选C　因为f′(x)＝－－2＋，所以f′(1)＝－2，又f(1)＝－1，故函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，化简得2x＋y－1＝0. 故选C. 2．函数f(x)＝x3－x2＋2x－1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为(　 ) A．－1 B.1 C．2 D.－2 解析：选D　f′(x)＝3x2－2x＋2，故f′(1)＝3，又f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝3(x－1)＋1＝3x－2.令x＝0，则y＝－2，故切线的纵截距为－2.故选D. 3．已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x－e1－x，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为(　 ) A．y－e2＋1＝0 B．y＋1＝0 C．(e2－1)x－y＋e2－2＝0 D．2x＋y＋3＝0 解析：选D　因为f(x)为偶函数，设x<0，则－x>0，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)－e1＋x，所以f(－1)＝－1.因为当x<0时，f′(x)＝－e1＋x，所以f′(－1)＝－2，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y＋1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋3＝0. 故选D. 4．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________________________________________________________． 解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) [提分技巧] (1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标． (2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．　　 　利用导数研究函数的单调性 [讲评提能] 角度1　与函数的单调区间有关的问题 [典例1]　(1)已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是(　 ) A. B. C.，(0，＋∞) D.∪(0，＋∞) (2)已知函数f(x)＝2x2－ln x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递增，则m的取值范围是(　 ) A.　　　　　　 B． C. D.[0,1) [解析]　(1)因为f′(x)＝3x2－2mx， 所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2， 所以f′(x)＝3x2＋4x. 由f′(x)＝3x2＋4x>0，解得x<－或x>0，即f(x)的单调递增区间是，(0，＋∞)，故选C. (2)因为f(x)＝2x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－， 由f′(x)>0，得4x－>0，解得x>， 所以f(x)的递增区间为. 由于f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递增， 则(2m，m＋1)⊆， 所以解得≤m<1. 因此，实数m的取值范围是. [答案]　(1)C　(2)A [提分技巧] 利用函数的单调性求参数的取值范围的思路 (1)由函数在区间[a，b]上单调递增(或递减)可知f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立； (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．　　 角度2　构造函数比较大小或解不等式 [典例2]　已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且f(－x)＝f(x)，当x≥0时，f′(x)>3x，则不等式f(x)－f(x－1)<3x－的解集是(　 ) A. B. C. D. [解题微“点”] 切入点 由f′(x)>3x，可构造函数g(x)＝f(x)－x2 隐藏点 由f(x)是偶函数得g(x)也是偶函数 [解析]　设g(x)＝f(x)－x2，则g′(x)＝f′