第六板块 大题专攻(一) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值关系(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题 　利用导数研究函数的单调性 角度1　讨论函数的单调性(或区间) [典例1]　(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1. (1)讨论f(x)的单调性． (2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标． [解]　(1)由f(x)＝x3－x2＋ax＋1，得f′(x)＝3x2－2x＋a.当Δ＝4－12a≤0，即a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增．当Δ＝4－12a>0，即a<时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.∴当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，当a≥时，f(x)在R上单调递增；当a<时，f(x)在－∞，，，＋∞上单调递增，在，上单调递减． (2)设曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的切点的坐标为(x0，y0)，则y0＝f(x0)＝x－x＋ax0＋1，∴f′(x0)＝3x－2x0＋a.∴曲线y＝f(x)过坐标原点的切线方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0)．∵切线过坐标原点(0,0)，∴将点(0,0)的坐标代入并化简，得2x－x－1＝0，∴(x－x)＋(x－1)＝0，∴x(x0－1)＋(x0－1)(x＋x0＋1)＝0，即(x0－1)(2x＋x0＋1)＝0，易得x0＝1.∴切点为(1,1＋a)．∴曲线y＝f(x)过坐标原点的切线方程为y－(1＋a)＝(a＋1)(x－1)，即y＝(a＋1)x.由消去y并整理，得x3－x2－x＋1＝0，即(x－1)(x2－1)＝0，解得x＝1或x＝－1.∴所求公共点的坐标为(1，a＋1)或(－1，－a－1)． [提分技巧] 讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根； (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． 提醒：研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　　 角度2　根据函数的单调性求参数的取值范围 [典例2]　已知x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点． (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)设函数g(x)＝f(x)－，若函数g(x)在区间[1,2]上单调递增，求a的取值范围． [解]　(1)f(x)＝2x＋＋ln x，定义域为(0，＋∞)， 所以f′(x)＝2－＋＝(x＞0)． 因为x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点， 所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0. 解得b＝3，经检验，符合题意，所以b＝3. 所以f′(x)＝2－＋＝， 令f′(x)＜0，得0＜x＜1. 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)． (2)g(x)＝f(x)－＝2x＋ln x－(x＞0)， g′(x)＝2＋＋(x＞0)． 因为函数g(x)在[1,2]上单调递增， 所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立， 即2＋＋≥0在[1,2]上恒成立， 所以a≥－2x2－x在[1,2]上恒成立， 所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1,2]． 因为在[1,2]上，(－2x2－x)max＝－3， 所以a≥－3. 所以a的取值范围是[－3，＋∞)． [提分技巧] (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围． (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．　　 [对点训练] 已知函数f(x)＝x2－aln x. (1)若函数f(x)在点(3，f(3))处切线的斜率为4，求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若函数g(x)＝ln x－f(x)－2x在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝2x－，而f′(3)＝4，即2×3－＝4，解得a＝6. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． ①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． ②当a＞0时， f′(x)＝2x－＝＝， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下： x f′(x) — 0 ＋ f(x)  极小值  由表可知，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是. (3)g(x)＝ln x－ax2－2x，于是g′(x)＝－ax－2＝－. 因为函数g(x)在[1,4]