第六板块 大题专攻(二) 利用导数研究不等式问题(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　利用导数研究不等式问题 　不等式的证明 [典例]　已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x(a≠0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＜0时，证明：f(x)≤－－1. [解题微“点”] 切入点 (1)首先确定f(x)的定义域，求导判断f(x)的单调性； (2)当a<0时，f(x)有最大值f，要证f(x)≤－－1，只需证f≤－－1即可 障碍点 (1)解第一问时，忽视对参数的分类讨论； (2)解第二问时，不知道利用(1)的结论 关键点 解与不等式证明有关问题的关键是构造函数，并借助导数分析新函数的相关性质 [解]　(1)由f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝. 若a＜0，由f′(x)＝0得x＝－，当x∈时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0， 故函数f(x)在上单调递增， 在上单调递减； 若a＞0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0恒成立， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 综上，当a＜0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)知当a＜0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－－. 要证f(x)≤－－1，即证ln－－≤－－1，即证ln＋＋≤0， 令t＝－，因为a＜0，所以t＞0，则只需证明(ln t－t＋1)≤0. 令g(t)＝ln t－t＋1，t＞0， 则g′(t)＝－1＝， 当t∈(0,1)时，g′(t)＞0， 当t∈(1，＋∞)时，g′(t)＜0， 故g(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(t)≤g(1)＝0，故g(t)≤0， 即(ln t－t＋1)≤0. 因此当a＜0时，f(x)≤－－1. [提分技巧] 构造函数法证明不等式 (1)移项，使等式右边为零，左边构造为新函数． (2)求导判断单调性，通常要对参数分类讨论． (3)根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证．　　 [对点训练] 已知函数f(x)＝ax＋xln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x>1时，求证：f(x)>3(x－1)． 解：(1)因为f(x)＝ax＋xln x， 所以f′(x)＝a＋ln x＋1， 因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值， 所以f′(e－2)＝0， 即a＋ln e－2＋1＝0，所以a＝1， 所以f′(x)＝ln x＋2. 当f′(x)>0时，x>e－2； 当f′(x)<0时，0<x<e－2， 所以f(x)在(0，e－2)上单调递减， 在(e－2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝e－2处取得极小值， 符合题意，所以a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋xln x. 令g(x)＝f(x)－3(x－1)， 即g(x)＝xln x－2x＋3(x>0)． g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e. 由g′(x)>0，得x>e；由g′(x)<0，得0<x<e. 所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， 所以g(x)在(1，＋∞)上的最小值为g(e)＝3－e>0. 于是在(1，＋∞)上，都有g(x)≥g(e)>0， 所以f(x)>3(x－1)． 　不等式恒成立问题 [典例]　已知函数f(x)＝1＋(a－1)x2＋aln x. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝1时，f(x)≤kx恒成立，求实数k的取值范围． [解题微“点”] 切入点 (1)通过讨论f′(x)在函数定义域内的符号来讨论f(x)的单调性； (2)分离参数k，构建函数h(x)＝，利用导数求其最大值，即可得到实数k的取值范围 迁移点 (1)把函数的单调性问题转化为其导函数的符号问题； (2)把求参数的范围问题转化为求新函数的最值问题 [解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2(a－1)x＋＝. 当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝ . 当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增； 当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减． (2)因为x>0，所以当a＝1时，f(x)≤kx恒成立⇔1＋ln x≤kx⇔k≥. 令h(x)＝，则k≥h(x)max. 因为h′(x)＝，令h′(x)＝＝0，解得x＝1，当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 所以h(x)max＝h(1)＝1，故