第七板块 第2讲 选修4－5 不等式选讲(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第2讲　选修4－5　不等式选讲 　解绝对值不等式 角度1　绝对值不等式的解法 [典例1]　已知函数f(x)＝|x－a|＋|2x－b|. (1)若a＝0，b＝2，画出函数f(x)的图象； (2)若a>0，b＝0，求f(x)≤2的解集． [解]　(1)当a＝0，b＝2时， f(x)＝|x|＋|2x－2|＝ 作出f(x)的图象如图所示． (2)当a>0，b＝0时， f(x)＝|x－a|＋|2x|＝ 作出f(x)的大致图象如图所示， 令3x－a＝2，得x＝(a＋2)， 令x＋a＝2，得x＝2－a， 令－3x＋a＝2，得x＝(a－2)， 结合图象可得当a>2时，f(x)≤2的解集为∅； 当1≤a≤2时，2≤2a， 故f(x)≤2的解集为； 当0<a<1时，2>2a， 故f(x)≤2的解集为. 角度2　利用绝对值不等式求最值 [典例2]　已知函数f(x)＝|x－1|＋2|x－2|＋4|x－t|(t∈R)． (1)若函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增，求实数t的取值范围； (2)若t>2，求函数f(x)的最小值． [解]　(1)由f(x)＝|x－1|＋2|x－2|＋4|x－t|， 若t≤3，则对任意x>3，都有f(x)＝x－1＋2(x－2)＋4(x－t)＝7x－5－4t， 此时函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增，故满足条件． ②若t>3,3<x<t时，f(x)＝x－1＋2(x－2)＋4(t－x)＝－x－5＋4t， 此时函数f(x)在(3，t)上单调递减，不满足条件． 综上，实数t的取值范围为(－∞，3]． (2)因为t>2， 故f(x)＝|x－1|＋2|x－2|＋4|x－t|＝ ①若x≤1， 则f(x)＝－7x＋5＋4t∈； ②若1<x≤2， 则f(x)＝－5x＋3＋4t∈[－7＋4t，－2＋4t)； ③若2<x≤t， 则f(x)＝－x－5＋4t∈[－5＋3t，－7＋4t)； ④若x>t，则f(x)＝7x－5－4t∈(－5＋3t，＋∞)． 综上可知，当x＝t时，函数f取得最小值， 最小值为f(t)＝－5＋3t，故函数f(x)的最小值为－5＋3t. 角度3　绝对值不等式的恒成立问题 [典例3]　已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋a|＋|a－1|的最小值为2，g(x)＝k|x|(a，k∈R)． (1)求a的取值范围； (2)若f(x)≥g(x)，求k的最大值． [解]　(1)∵|x－1|＋|x＋a|≥|(x－1)－(x＋a)|＝|a＋1|，∴f(x)min＝|a＋1|＋|a－1|， 即|a＋1|＋|a－1|＝2， 又|a＋1|＋|a－1|≥|(a＋1)－(a－1)|＝2，当且仅当－1≤a≤1时，取等号， 故a的取值范围是[－1,1]． (2)由(1)得f(x)＝|x－1|＋|x＋a|＋1－a， 当x>1时，f(x)＝x－1＋x＋a＋1－a＝2x， 当－a≤x≤1时，f(x)＝1－x＋x＋a＋1－a＝2， 当x<－a时，f(x)＝1－x－x－a＋1－a＝－2x＋2(1－a)， ∴f(x)在(－∞，－a)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， f(x)，g(x)的图象如图所示， 故k≤2，即k的最大值为2. [提分技巧]　解绝对值不等式的常用方法 公式法 对于形如|f(x)|＞g(x)或|f(x)|＜g(x)，利用公式|x|＜a⇔－a＜x＜a(a＞0)和|x|＞a⇔x＞a或x＜－a(a＞0)直接求解不等式 平方法 对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f2(x)≥g2(x) 零点分段法 对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解 几何法 对于形如|x±a|±|x±b|≤c，|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解 图象法 对于形如|f(x)|＋|g(x)|≥a可构造y＝|f(x)|＋|g(x)|－a或y＝|f(x)|＋|g(x)|与y＝a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数 [对点训练] 1．设函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|. (1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围； (2)若集合{x|f(x)＋ax－1>0}＝R，求实数a的取值范围． 解：(1)因为|x－2|＋|x＋1|≥|(x－2)－(x＋1)|＝3，当且仅当(x－2)(x＋1)≤0，即－1≤x≤2时，上式等号成立， 故函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|的最小值为3， 且f(x)取得最小值时x的取值范围是[－1,2]． (2)因为{x|f(x)＋ax－1>0}＝R