第一板块 小题考法(二) 三角恒等变换、解三角形(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(二)　三角恒等变换、解三角形 　三角恒等变换 [讲评提能] [典例]　(1)已知sin＋cos α＝，则sin＝(　 ) A. B. C．－ D．－ (2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　 ) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 [解析]　(1)sin＋cos α＝，∴sin αcos－cos αsin＋cos α＝sin α＋cos α＝，∴cos＝，∴sin＝sin [答案]　(1)D　(2)C, [提分技巧] 三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．　　 [过关训练] 1．(2022·九江模拟)已知锐角α满足4sin2α＋sin 2α＝2，则cos 2α＝(　 ) A．－ B. C. D．－ 解析：选B　由4sin2α＋sin 2α＝2得，sin 2α＝2－4sin2α＝2(1－2sin2α)＝2cos 2α，∵0<α<，∴0<2α<π，又sin 2α＝2cos 2α，∴sin 2α>0，cos 2α>0， 由得 ∴cos 2α＝.故选B. 2．已知cos α＝，sin(β－α)＝－，α，β 均为锐角，则β＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　∵α，β均为锐角，即α，β∈，∴β－α∈，∴cos(β－α)＝＝，又sin α＝＝，∴cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝，又β∈，∴β＝. 故选C. 3．(2022·郑州模拟)已知β∈，sin β＝，若3sin(α＋2β)＝sin α，则tan(α＋β)＝________. 解析：因为β∈，sin β＝，sin2β＋cos2β＝1，解得cos β＝－，所以tan β＝－，sin 2β＝－，cos 2β＝.又3sin(α＋2β)＝3sin αcos 2β＋3cos αsin 2β＝3××sin α＋3××cos α＝sin α－cos α＝sin α，所以sin α＝cos α，tan α＝. 所以tan(α＋β)＝＝＝. 答案： 　利用正、余弦定理解三角形 [讲评提能] [典例1]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B＋bcos A＝3ccos C，asin A－csin C＋bsin A＝0，则＝(　 ) A.　　　　　　　　　 B. C. D. [解析]　在△ABC中，由正弦定理及acos B＋bcos A＝3ccos C，得 sin Acos B＋cos Asin B＝3sin Ccos C， ∴sin(A＋B)＝sin C＝3sin Ccos C， 又sin C≠0，∴cos C＝. 由正弦定理及asin A－csin C＋bsin A＝0， 得a2－c2＝－ab， 又由余弦定理得cos C＝＝＝， ∴－1＝，得＝. [答案]　A [典例2]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3bcos C＝3a－c，且A＝C，则sin A＝________. [解题微“点”] 切入点 利用正弦定理把条件式3bcos C＝3a－c中的边转化为角 隐藏点 在△ABC中，A＋B＋C＝π，要求sin A，则消去B和C 障碍点 对条件式进行三角恒等变换 [解析]　因为3bcos C＝3a－c，利用正弦定理边化角可得3sin Bcos C＝3sin A－sin C，又A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，即sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 所以3sin Bcos C＝3(sin Bcos C＋cos Bsin C)－sin C， 所以3cos Bsin C＝sin C， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0， 所以cos B＝，又A＝C，所以cos B＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝2sin2A－1＝， 因为A∈(0，π)，所以sin A＞0，所以sin A＝. [答案]　 [提分技巧] 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [提醒]　应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．　　 [过关训练] 1．