第一板块 大题专攻(一) “解三角形”大题的考法研究(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　“解三角形”大题的考法研究 　利用正、余弦定理求边或角 [典例]　(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． [解]　(1)证明：因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. (2)由(1)及a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝2bccos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. [提分技巧] 应用正、余弦定理解题的技巧 (1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解． (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解． (4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．　　 [对点训练] 1．(2022·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知4a＝c，cos C＝. (1)求sin A的值； (2)若b＝11，求△ABC的面积． 解：(1)由正弦定理＝， 得sin A＝. 因为cos C＝，所以sin C＝， 又＝，所以sin A＝＝. (2)由(1)知sin A＝， 因为a＝＜c，所以0＜A＜， 所以cos A＝， 所以sin B＝sin(π－B)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A＝×＋×＝. 因为＝，即＝， 所以c＝4， 所以S△ABC＝bcsin A＝×11×4×＝22. 2．(2022·柳州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin＝asin B. (1)求角A的大小； (2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状． 解：(1)∵bsin＝asin B，由诱导公式得bcos A＝asin B， 由正弦定理得sin Bcos A＝sin Asin B， ∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，∴tan A＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc. 又cos A＝＝＝， 即b2＋c2－bc＝bc，所以(b－c)2＝0，∴b＝c. 又∵A＝，∴△ABC为等边三角形． 　与解三角形有关的最值、范围问题 [典例]　已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，a＝ccos B＋bsin C. (1)求C的大小； (2)若△ABC为锐角三角形且c＝，求a2＋b2的取值范围． [解]　(1)由a＝ccos B＋bsin C及正弦定理可得sin Bsin C＋cos Bsin C＝sin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 所以sin Bsin C＝sin Bcos C， 因为B，C∈(0，π)，则sin B>0，cos C＝sin C>0，则tan C＝，故C＝. (2)在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2， 所以a＝2sin A，b＝2sin B＝2sin(A＋C)＝2sin， 所以a2＋b2＝4sin2A＋4sin2＝4×＋4× ＝2－2cos 2A＋2－2cos＝4－2cos 2A－2＝4－2cos 2A＋cos 2A＋sin 2A＝sin 2A－cos 2A＋4＝2sin＋4， 由于A＋B＝，所以 解得<A<， 所以<2A<π，<2A－<， 所以sin>， 所以2sin∈(1,2]， 所以2sin＋4∈(5,6]． 所以a2＋b2的取值范围是(5,6]． [提分技巧] 运用正、余弦定理求与三角形有关量的最值、取值范围问题，一般用正弦定理将所求的量转化为关于某一个角的三角函数，求该三角函数的最值与取值范围，或转化为关于边的等式、函数、不等式，再用基本不等式或函数的单调性等来处理．破解此类题通常有以下方法： 构建目标 不等式 根据题干中得出的等量关系，如相等角、互补角，巧妙运用余弦定理构建等式或用正弦定理转化为边的关系，然后借助不等式知识求最值或范围；或用余弦定理搭桥，实现两个基本量的和与积，平方和与积等的转化 构建目标 函数