第一板块 大题专攻(二) “解三角形”大题的思维建模(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　“解三角形”大题的思维建模 一　 尽管解三角形大题难度一般，但由于其公式多、性质繁，让不少同学解此类题目费神费力，消耗过多时间．解三角形问题关键在于“变”——变角与变式．从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等；从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等． [解题示范] [典例]　2022·新高考Ⅰ卷记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 . [关键步骤] [关键点拨] 1．利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 2．解三角形中的注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． (2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A<π，b－c<a<b＋c，三角形中大边对大角等． (3)注意挖掘特殊关系量，如： ①已知两角A，B与一边a， 由A＋B＋C＝π及＝＝，可求出角C，再求b，c； ②已知两边b，c与其夹角A， 由a2＝b2＋c2－2bccos A，求出a，再由余弦定理，求出角B，C； ③已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. [应用体验] 已知四边形ABCD中，A＋C＝180°，BC＝3. (1)若AB＝6，AD＝3，CD＝4，求BD； (2)若∠ABC＝120°，△ABC的面积为，求四边形ABCD周长的最大值． 解：(1)在△ABD中，由余弦定理得cos A＝. 在△BCD中，由余弦定理得cos C＝. 因为A＋C＝180°，所以cos A＋cos C＝0， 即＋＝0，得BD＝. (2)由题意知S△ABC＝×3×AB×＝，得AB＝6. 在△ABC中，由余弦定理得 AC＝＝3. 令AD＝x，CD＝y，在△ACD中， 由余弦定理得(3)2＝x2＋y2－2xycos 60°， 即x2＋y2－xy＝63. 所以(x＋y)2＝63＋3xy≤63＋3×， 即≤63，x＋y≤6， 当且仅当x＝y＝3时取等号． 所以四边形ABCD周长的最大值为9＋6. 二微观优化解题细节：解三角形必须具备的三个意识 “解三角形”的总体难度适中，入手比较容易，但在具体解决问题时，学生易出现“会而不对，对而不全”的情况．主要表现为：公式记忆不准确；在三角函数公式变形中转化不当，导致后续求解复杂或运算错误；忽视三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围等．基于以上误区，解决此类问题要强化以下三个意识． 意识一　边角互化 [例1]　a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边．已知2asin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C－sin B)c. (1)求A； (2)若c＝2，试问b的值是否可能为5？若可能，求△ABC的周长；若不可能，请说明理由． [解题观摩]　(1)因为2asin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C－sin B)c， 由正弦定理可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即a2＝b2＋c2－bc.⇨ 再由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)假设b＝5，则由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝19， 所以cos B＝＝＜0，⇨ 所以B为钝角，这与△ABC为锐角三角形矛盾，故b的值不可能为5. [反思领悟] 正弦定理、余弦定理应用的主要功能是实现三角形中的边角互化．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的齐次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理是否都要应用．正弦定理、余弦定理的灵活应用需深入领会化归与转化思想，需要在解题中多归纳、多总结，抽象概括，总结方法规律． 涉及应用正弦定理、余弦定理的还有一种题型是判断三角形的形状，通常从两个方向进行变形：一个方向是边，考虑代数变形，通常正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，考虑三角变形，通常运用正弦定理．　　 意识二　函数与方程思想的应用 [例2]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝7，sin C＝. (1)若cos B＝，求b的值； (2)若a＋b＝11，求△ABC的面积． [解题观摩]　(1)在△ABC中，因为cos B＝，且B∈(0，π)，所以sin B＝，根据正弦定理＝，及c＝7，sin C＝，解得b＝5. (2)在△ABC中，因为sin C＝，所以cos C＝±. 当cos C＝时，根据余弦定理