第二板块 大题专攻(一) “数列”大题的考法研究(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　“数列”大题的考法研究 　等差、等比数列的基本运算 [典例]　已知等差数列{an}的公差为正数，a2与a8的等差中项为8，且a3a7＝28. (1)求{an}的通项公式； (2)从{an}中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第3n项，按照原来的顺序组成一个新数列{bn}，判断938是不是数列{bn}中的项？并说明理由． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 根据等差中项的性质可得a2与a8的等差中项为a5，所以a5＝8， 又因为a3a7＝28，即(a5－2d)(a5＋2d)＝28. 所以d2＝9，d＝±3，因为公差为正数，所以d＝3.则a5＝a1＋4d＝8，则a1＝－4， ∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝－4＋3(n－1)＝3n－7(n∈N*)． (2)结合(1)可知bn＝a3n＝9n－7(n∈N*)． 令938＝9n－7，即n＝105∈N*，符合题意， 即b105＝938.所以938是数列{bn}中的项． [提分技巧] 等差、等比数列的基本量的求解策略 (1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序． (2)注意细节．例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．　　 [对点训练] (2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数． 解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3， 得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1， 即d＝2b1， 由a2－b2＝b4－a4， 得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)， 即a1＝5b1－2d， 将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1. (2)由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1， 由bk＝am＋a1， 得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1， 由a1＝b1≠0，得2k－1＝2m， 由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9个数，即集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9. 　等差数列、等比数列的判定与证明 [典例]　已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋Sn＝－.从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{an}的通项公式． ①数列{2nan}是等差数列； ②数列是等比数列． [解]　若选①数列{2nan}是等差数列， ∵an＋Sn＝－，∴an＋1＋Sn＋1＝－， ∴两式相减得an＋1－an＋an＋1＝， 即2an＋1－an＝. ∴2n＋1an＋1－2nan＝1且a1＝－， ∴{2nan}是首项为－1，公差为1的等差数列． ∴2nan＝－1＋(n－1)·1＝n－2，即an＝. 若选②数列是等比数列， ∵an＋Sn＝－，∴an＋1＋Sn＋1＝－， ∴两式相减得an＋1－an＋an＋1＝， 即2an＋1－an＝. ∴2an＋1－an＝， 整理得2＝an－.∵a1－＝－1≠0， ∴是等比数列且首项为－1，公比为. ∴an－＝－n－1，即an＝. [提分技巧] 证明(或判断)数列是等差(比)数列的4种基本方法 定义法 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列 等差(比) 中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇒{an}是等差数列；an＝a1·qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇒{an}是等比数列 前n项和 公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇒{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A为非零常数，q≠0,1)⇒{an}是等比数列 [对点训练] 1．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)求证：数列{an＋an＋1}为等比数列； (2)若a1＝，a2＝，求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由an＋2＝2an＋1＋3an，得an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列． (2)因为a1＝，a2＝，所以a2＋a1＝2. 又由(1)知数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列，所以