第二板块 大题专攻(二) “数列”大题的思维建模(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　“数列”大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：数列问题重在“归”——化归 等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，凡是涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法．对于不是等差或等比的数列，可通过转化化归，转化为等差(比)数列问题或相关问题求解．由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决． [解题示范] [典例]　2022·新高考Ⅰ卷记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列. [应用体验] 1.(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－＋. 当n＝1时，a1＝S1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－＋－， ∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1. 等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1， ∴an－an－1＝1.∴数列{an}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知数列{an}的公差为1. 由a＝a4a9，得(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)， 解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋＝＝2－， 所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＋1＝3an. (1)证明：{an}为等比数列； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)证明：因为2Sn＋1＝3an，所以当n＝1时，2a1＋1＝3a1，可得a1＝1； 当n≥2时，由2Sn＋1＝3an可得2Sn－1＋1＝3an－1， 所以2an＝3an－3an－1(n≥2)，所以an＝3an－1. 即{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以，an＝1×3n－1＝3n－1. (2)由(1)知bn＝＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝1－＝. 二微观优化解题细节：求解数列问题的三大常用技巧 等差数列、等比数列的通项公式和求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式． 技巧一　整体利用数列的性质 [典例1]　(1)在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，求a9＋a11＋a13＋a15的值． (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，求满足SkSk＋1<0的正整数k的值． [解题观摩]　(1)设等比数列{an}的公比为q， 则a5＝a1q4，a7＝a3q4， 所以q4＝＝＝. 又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝8×2＝2， a13＋a15＝(a1＋a3)q12＝8×3＝1， 所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. (2)依题意得a6＝S6－S5>0， a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0， 则S11＝＝11a6>0， S12＝＝>0， S13＝＝13a7<0， 所以S12S13<0， 即满足SkSk＋1<0的正整数k＝12. 技巧二　奇偶项分类 当题中涉及(－1)n或数列的奇偶项具有不同规律时，按照n为奇数和偶数分别求解，最后再整合求解结果． [典例2]　在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1；等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn. [解题观摩]　(1)设等差数列{bn}的公差为d. 由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d， 故即解得或(舍去)． 所以an＝3n，bn＝2n＋1. (2)由题意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n. 当n为偶数时，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋(－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n＝n＋－＝＋n－； 当n为奇数时，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－2(2n－3)＋(－1)n－1(2n－1)]＋(－1)n(2n＋1)＋3＋32＋…＋3n＝(n－1)－(2n＋1)＋－＝－n－. 所以Sn＝ 技巧三　构造的数列 1．用“待定系数法”构造等比数列 形如an＋1＝kan＋p(k，p为常数，kp≠0)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为an＋1＋m＝k(an＋m)，由此构造出新的等比数列． 2．用“同除法”构造等差数列 (1)形如