第三板块 小题考法(一) 空间几何体的表面积、体积(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第三板块|立体几何 明明白白知高考　 1．从近几年高考试题考查的情况来看，立体几何的题目难度和题量相对稳定，一般以“2小1大”的情况出现，占22分，难度中等，“2小”中的“1小”有时会结合其他知识以压轴小题的形式出现，2021年乙卷把三视图作为填空题的压轴题，以开放形式给出，2022年甲卷以三视图为载体考查多面体的体积，说明在未进入新高考之前对三视图知识的学习不能忽视． 2．立体几何选择题或填空题的常考点为： (1)空间几何体的三视图及表面积、体积的计算，特别要注意的是球的组合体问题，常作为小题的压轴题出现，难度较大．(2)空间点、线、面之间的位置关系的判定． 3．立体几何解答题常以棱柱或棱锥为载体，一般设置两问，“一证一算”，一问是定性分析，一问是定量分析．其中定性分析以线面平行、垂直的证明为主，而定量分析主要是求空间几何体的体积及距离问题． 融会贯通串知识　 一、主干知识·以点带面 空间几何体的表面积与体积及线面位置关系 主干 知识点 四种几何体的表面积、体积公式 (1)柱体的表面积和体积： S圆柱侧＝2πrl， S表面积＝S侧＋2S底， V＝S底h. (2)台体的表面积和体积： S圆台侧＝π(r上＋r下)l， S表面积＝S侧＋S上＋S下， V＝(S上＋S下＋)h. (3)锥体的表面积和体积： S圆锥侧＝πrl， S表面积＝S侧＋S底， V＝S底h. (4)球的表面积和体积： S表面积＝4πR2， V＝πR3 四个基本事实 (1)基本事实1：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； (2)基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； (4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 八个定理 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α； (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α； (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b； (5)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a∩b＝O，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α； (6)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； (7)面面垂直的判定定理：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β； (8)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α 二、常用结论·记清用活 1．三视图与直观图 (1)球的三视图都是半径相等的圆． (2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形． 2．空间几何体的表面积与体积 (1)长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径； (2)n面体的表面积为S，体积为V，则内切球的半径r＝； (3)直三棱柱的外接球半径：R＝ ，其中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径：R′＝. 3．正四面体的常用结论 假设正四面体的边长为a，则有 (1)h＝a，S表面积＝a2，V体积＝a3； (2)相邻两个面的二面角：cos α＝； (3)三条侧棱与底面的夹角：cos β＝； (4)外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R＝a，球心到底面的距离为内切球的半径r＝a，因此R∶r＝3∶1； (5)顶点在底面的射影是底面三角形的中心(四心合一)； (6)对棱互相垂直，且对棱中点的连线为对棱的公垂线，距离为a，三对对棱公垂线交于一点，此点为该正四面体外接球(或内切球)的球心． 小题考法(一)　空间几何体的表面积、体积 　空间几何体的三视图与直观图 1．如图所示的几何体，它的俯视图是(　 ) 　 解析：选B　由题意，根据空间几何体的三视图的概念，结合选项，可得该几何体的俯视图为选项B. 2.图形是信息传播、互通的重要的视觉语言，《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中的立体图形．即作几何体的“三视图”，需要分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图．如图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的最长的一条侧棱长为(　 ) A．3 B．3 C．3 D. 解析：选B　由三视图可知，该几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥P­ABC，如图所示，PA＝AB＝AC＝3，PA⊥AC，PA⊥AB，AB⊥AC， 所以PB＝PC＝BC＝＝3，所以最长的一条侧棱长为3，故选B. 3．刍甍，中国古代算数中的一种几何形