第三板块 小题考法(二) 空间位置关系(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(二)　空间位置关系 　空间线面位置关系的判断 1．(2022·许昌模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，直线m⊥平面α，则下列说法正确的是(　 ) A．若α∩β＝n，则m⊥n B．若n⊥α，则m⊥n C．若m⊥β，则α⊥β D.若α⊥β，则m∥β 解析：选A　因为m⊥α，α∩β＝n，则n⊂α，所以m⊥n，故A正确；由条件得m∥n，故B错误；由条件得α∥β，故C错误；由条件得m∥β或m⊂β，故D错误．故选A. 2．(2022·惠州二模)已知m，n，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是(　 ) A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂β且α∥β，则m∥n C．α∥β，m∥β，则m∥α D.若α∩β＝m，β∩γ＝n，α∩γ＝c，且m∥n，则m∥c 解析：选D　对于A，m∥α，n⊂α⇒m∥n或m与n异面，∴A错误；对于B，若m⊂α，n⊂β，α∥β⇒m∥n或m，n异面，∴B错误；对于C，若α∥β，m∥β⇒m∥α或m⊂α，∴C错误；对于D，∵m∥n，n⊂γ，m⊄γ，∴m∥γ，又α∩γ＝c，m⊂α，∴m∥c.∴D正确．故选D. 3．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　 ) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 解析：选A　如图，对于选项A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又AC⊥BD，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1＝D，从而EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故选项A正确；对于选项B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以由选项A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，故选项C错误；对于选项D，连接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面A1C1D与平面B1EF不平行，故选项D错误．故选A. [提分技巧] 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断． (2)借助反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断． (3)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．　　 　空间角 [讲评提能] [典例]　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D和CD1与底面所成的角分别为30°和45°，则异面直线A1D和CD1所成角的余弦值为(　 ) A. B． C. D. (2)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB和CD分别是该圆柱上、下底面的一条直径，若四面体ABCD的体积为，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　 ) A. B． C. D. [解析]　(1)连接A1B，BD，则A1B∥CD1， 所以∠BA1D为异面直线A1D和CD1所成的角， 因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D和CD1与底面所成的角分别为30°和45°， 所以∠A1DA＝30°，∠D1CD＝45°， 设AA1＝a，则AD＝a，CD＝a，所以BD＝2a，A1B＝a，A1D＝2a， 在△A1DB中，由余弦定理得，cos∠BA1D＝＝＝，所以异面直线A1D和CD1所成角的余弦值为，故选B. (2)如图，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，O1，O2分别为上、下底面圆心． 根据题意，由于圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的底面半径为1，圆柱的高为2， 连接O1D，O1C，O1O2， △O1CD中，CD＝2，高O1O2＝2， 在圆柱下底面上过O2作EF∥AB，过E作EH⊥CD于点H，则EH＝h＝. 异面直线AB与CD所成角为∠EO2C或其补角， 所以sin∠EO2C＝＝. 故cos∠EO2C＝＝，故选D. [答案]　(1)B　(2)D [提分技巧]　定义法求异面直线所成角的步骤 [过关训练] 1．(2022·全国甲卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　 ) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 解析：选D　如图，连接BD，易知∠BDB1是直线B1D与平面ABCD所成的角，所以在Rt△BDB1中，∠BDB1＝30°，设BB1＝1