第三板块 大题专攻(一) “立体几何”中大题的考法研究(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　“立体几何”中大题的考法研究 　立体几何中平行、垂直关系的证明 [典例]　(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)． [解]　法一：(1)证明：如图，分别取AB，BC的中点M，N，连接EM，FN，MN， ∵△EAB与△FBC均为正三角形，且边长均为8， ∴EM⊥AB，FN⊥BC，且EM＝FN. 又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD， 平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM⊂平面EAB，FN⊂平面FBC， ∴EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD， ∴EM∥FN，∴四边形EMNF为平行四边形， ∴EF∥MN. 又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)如图，分别取AD，DC的中点，P，Q，连接PM，PH，PQ，QN，QG，AC，BD. 由(1)知EM⊥平面ABCD， FN⊥平面ABCD，同理可证得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，易得EM＝FN＝GQ＝HP＝4，EM∥FN∥GQ∥HP. 易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD， 所以PM⊥MN， 又PM＝QN＝MN＝PQ＝BD＝4，所以四边形PMNQ是正方形，所以四棱柱PMNQ-HEFG为正四棱柱， 所以V四棱柱PMNQ-HEFG＝(4)2×4＝128. 因为AC⊥BD，BD∥PM，所以AC⊥PM. 因为EM⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以EM⊥AC. 又EM，PM⊂平面PMEH，且EM∩PM＝M， 所以AC⊥平面PMEH， 则点A到平面PMEH的距离d＝AC＝2， 所以V四棱锥A-PMEH＝S四边形PMEH×d＝×4×4×2＝， 所以该包装盒的容积V＝V四棱柱PMNQ-HEFG＋4V四棱锥A-PMEH＝128＋4×＝(cm3)． 法二：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EAB和△FBC是正三角形， ∴分别取AB，BC的中点K，I，连接EK，FI，KI，则EK⊥AB，FI⊥BC，如图． ∵平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，EK⊂平面EAB，∴EK⊥平面ABCD.同理FI⊥平面ABCD， ∴EK∥FI.易知△EAB≌△FBC，∴EK＝FI， ∴四边形EKIF是平行四边形，∴EF∥KI. 又∵EF⊄平面ABCD，KI⊂平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)可补形成长方体，如图，易得长方体的高为4cm.故所求包装盒的容积V＝82×4－4×××42×4＝(cm3)． [提分技巧]　空间平行、垂直关系的转化 证明空间平行、垂直关系的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化． [对点训练] 1.如图，△ABC的外接圆O的直径AB＝2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，CE＝2，BC＝1. (1)求证：平面AEC⊥平面BCED； (2)若DM＝DE，求三棱锥D-ACM的体积． 解：(1)证明：∵△ABC的外接圆O的直径为AB， ∴AC⊥BC. 又∵EC⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴EC⊥BC， 又∵AC∩EC＝C，AC⊂平面ACE，EC⊂平面ACE， ∴BC⊥平面ACE，又BC⊂平面BCED, ∴平面AEC⊥平面BCED. (2)连接CM，CD，∵DM＝DE， ∴VD-ACM＝VE-ACM＝VM-ACE， ∵平面AEC⊥平面BCED， 过M作MN垂直于CE，交CE于N，则MN∥BC， 由(1)知BC⊥平面ACE，故MN⊥平面ACE， 则MN为锥体M-ACE的高， 且MN＝BC＝， ∴VM-ACE＝×××2×＝， ∴VD-ACM＝. 2.(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F-EBC的体积． (2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE. 解：(1)∵侧面AA1B1B是正方形， ∴AB⊥BB1，AB∥A1B1，AB＝BB1＝AA1＝A1B1＝2. 又BF⊥A1B1，∴AB⊥BF. 又BF∩BB1＝B，BF⊂平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1. 又BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥BC，即∠ABC＝90°. ∵AB＝BC＝2， ∴AC＝＝＝2. ∵E是AC的中点，∴CE＝AC＝， ∴S△EBC＝S△ABC＝××2×2＝1. ∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，BB1⊥AB， ∴