第四板块 小题考法(二) 概 率(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(二)　概　率 　古典概型与几何概型 1．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲、乙两人安排在同一个舱内的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　从甲、乙、丙、丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有C·A＝6×2＝12种可能，要使得甲、乙在同一个舱内，由题意，甲、乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有A＝2种可能．所以甲、乙两人安排在同一个舱内的概率P＝＝. 故选A. 2.某种游戏棋盘形状如图，已知大正方形的边长为12，每个小正方形的边长均为2，在游戏棋盘上随机取一点，则该点取自小正方形以外区域的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　从正方形区域上任取一点，有无数种取法，并且他们是等可能的，属于几何概型．因为大正方形的边长为12，所以大正方形的面积为144.棋盘内有8个小正方形，所以小正方形以外区域的面积为144－8×2×2＝112.由几何概型的概率计算公式可得P＝＝.故选B. 3．(2022·福州模拟)共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，甲、乙排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　除甲、乙、丙余下的两个人全排列，把甲、乙捆绑在一起和丙一起作为两个人插空，可得符合条件的基本事件的个数，所以所求概率为＝＝.故选A. 4．2021年3月，教育部办公厅发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确学生睡眠时间要求，高中生每天睡眠时间应达到8小时．若高一学生小明每天的睡眠时间在7小时至10小时之间随机分布，则他连续两天平均睡眠时间不少于8小时的概率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　设小明连续两天的睡眠时间都减去7小时后，分别为x小时和y小时，则作出x，y所表示的可行域，如图中正方形．若他连续两天平均睡眠时间不少于8小时，则x＋y≥2，其构成的区域为阴影部分．则所求概率为P＝＝1－＝.故选D. 5．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 解析：从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C＝70(种)．其中4个点共面有以下两种情况： ①所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法； ②所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法． 所以所取的4个点在同一个平面的概率P＝＝. 答案： [提分技巧] (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识． (2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性． (3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．　　 　相互独立事件的概率与条件概率 [讲评提能] [典例]　(1)已知n是一个三位正整数，若n的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n为三位递增数．已知a，b，c∈{0,1,2,3,4}，设事件A为“由a，b，c组成三位正整数(数字可重复)”，事件B为“由a，b，c组成的三位正整数为递增数”则P(B|A)＝(　 ) A. B. C. D. (2)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　 ) A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 [解析]　(1)由题可知n(A)＝4×5×5＝100，由a，b，c组成的三位正整数为递增数，则：若该三位数个位是0，则百位和十位从1,2,3,4四个数字中任选两个按大小排列即可，共C＝6种可能；若该三位数个位是1，则百位和十位从2,3,4三个数字中任选两个按大小排列即可，共C＝3种可能；若该三位数个位是2，则百位为4，十位为3，共1种可能，故n(AB)＝6＋3＋1＝10，故P(B|A)＝＝＝.故选B. (2)设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，由题意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－