第四板块 大题专攻(一) 统计与统计案例(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　统计与统计案例 　用样本估计总体 [典例]　(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s. (1)求，，s，s. [解]　(1)∵＝×(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7)＝10， ＝×(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5)＝10.3， ∴s＝×(0.22＋0.32＋02＋0.22＋0.12＋0.22＋02＋0.12＋0.22＋0.32)＝0.036， s＝×(0.22＋0.12＋0.22＋0.32＋0.22＋02＋0.32＋0.22＋0.12＋0.22)＝0.04. (2)∵－＝10.3－10＝0.3， 2＝2＝2， ∴－＝0.3＝2×0.15＝2×＝2×>2×，满足－≥2， ∴新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． [提分技巧] 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．　　 [对点训练] 某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下： (1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数； (2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率； (3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01)． 解：(1)由题意知，网店销售量不低于50的共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50的共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24＝24， 故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66＋38－24＝80. (2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x－1 700)元，50x－1 700≥800，解得x≥50. 设该实体店一天获利不低于800元为事件A，则P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38. 故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38. (3)因为网店销售量的频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 销售量低于55的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 所以网店销售量的中位数的估计值为50＋×5≈52.35. 　线性回归分析 [典例]　某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表： 项目A投资金额x(单位：百万元) 1 2 3 4 5 所获利润y(单位：百万元) 0.3 0.3 0.5 0.9 1 (1)请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用样本相关系数加以说明； (2)该公司计划用7百万元对A，B两个项目进行投资，若公司对项目B投资x(1≤x≤6)百万元所获得的利润y近似满足：y＝0.16x－＋0.49，求A，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？ 附：①对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为＝，＝－. ②样本相关系数r＝.一般地，样本相关系数r的绝对值在0.75以上(含0.75)认为线性相关程度较强；否则，线性相关程度较弱． 参考数据：对项目A投资的统计数据表中iyi＝11，＝2.24，≈2.1. [解]　(1)对项目A投资的统计数据进行计算得，＝3，＝0.6，＝55， 于是得＝＝＝0.2，＝－＝0.6－0.2×3＝