第四板块 大题专攻(二) 离散型随机变量及其分布列、正态分布(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　离散型随机变量及其分布列、正态分布 　相互独立事件的概率 [典例]　某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1,2,3三个相互间隔的区域中，且1,2,3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1,2,3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响． (1)求小张分别在1,2,3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率； (2)若分别在1,2,3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？ [解]　(1)记该顾客分别在1,2,3三个区域套一次便能套中奖品为事件A，B，C， 则P(A)＝0.6，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，P()＝0.4，P()＝0.8，P()＝0.9. 因为每次的结果互不影响，所以该顾客分别在1,2,3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率为P()P()P()＋P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.824. (2)若小张选择方案甲：X的可能取值为0, 5, 15, 20, 25, 35, 40， P(X＝0)＝P()P()P()＝0.288， P(X＝5)＝P(A)P()P()＝0.432， P(X＝15)＝P()P(B)P()＝0.072， P(X＝20)＝P()P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.14， P(X＝25)＝P(A)P()P(C)＝0.048， P(X＝35)＝P()P(B)P(C)＝0.008， P(X＝40)＝P(A)P(B)P(C)＝0.012， E(X)＝5×0.432＋15×0.072＋20×0.14＋25×0.048＋35×0.008＋40×0.012＝8. 若小张选择方案乙，设他所获奖品的总件数为Z， 则Z～B(3,0.2)，Y＝15Z，E(Z)＝3×0.2＝0.6，E(Y)＝15E(Z)＝9， 因为E(Y)>E(X)，所以小张应该选择方案乙． [提分技巧]　求相互独立事件的概率的两种方法 直接法 正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解 间接法 当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解，对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解 [对点训练] (2022·北京高考)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35，9.30，9.25； 乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23； 丙：9.85,9.65,9.20,9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明) 解：(1)设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件A. 因为比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖，甲以往的比赛成绩中达到9.50 m以上(含9.50 m)的有9.80 m,9.70 m,9.55 m，9.54 m，共4个， 所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P(A)＝0.4. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3. 由(1)知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P(A)＝0.4. 设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件B，C，则P(B)＝0.5，P(C)＝0.5. P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.5)×(1－0.5)＝0.15， P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5×(1－0.5)＋(1－0.4)×(1－0.5)×0.5＝0.4， P(X＝2)＝0.4×0.5×(1－0.5)＋0.4×(1－0.5)×0.5＋(1－0.4)×0.5×0.5＝0.35， P(X＝3)＝0.4×0.5×0.5＝0.1， 所以E(X)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4. (3)在校运动