第四板块 大题专攻(三) “概率与统计”大题的思维建模(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(三)　“概率与统计”大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型 (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等； (2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等； (3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等； (4)准确选择排列组合的方法来计算样本点个数和样本点总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率； (5)确定随机变量取值并按照属于超几何分布还是二项分布求其对应的概率，写出分布列后再求期望； (6)会套用求，K2的公式求值，再作进一步求值与分析． [解题示范] [典例]　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列． (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由． [应用体验] 天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越．为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示. 题目 A B C 做对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的奖金/元 1 000 2 000 3 000 规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题． (1)求甲获得的奖金X的分布列及均值； (2)如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？(不需要具体计算过程，只需给出判断) 解：(1)分别用A，B，C表示做对题目A，B，C的事件，则A，B，C相互独立． 由题意，X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000. P(X＝0)＝P()＝0.2；P(X＝1 000)＝P(A)＝0.8×0.4＝0.32；P(X＝3 000)＝P(AB)＝0.8×0.6×0.6＝0.288；P(X＝6 000)＝P(ABC)＝0.8×0.6×0.4＝0.192. 所以甲获得的奖金X的分布列为 X 0 1 000 3 000 6 000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 E(X)＝0×0.2＋1 000×0.32＋3 000×0.288＋6 000×0.192＝2 336. (2)改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同． 决策的原则是选择期望值E(X)大的做题顺序，这称为期望值原则．做对的概率大表示题目比较容易，做对的概率小表示题目比较难． 猜想：按照由易到难的顺序做题，即按照题目A，B，C的顺序做题，得到奖金的期望值最大． 二微观优化解题细节：三招突破概率、统计大题的解题瓶颈 技法一　信息巧提取 [例1]　(2022·佛山开学摸底)高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，某一年乘坐高铁或飞机从A市到B市的成年人约50万人次，为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取了100人次作为样本，得到下表(单位：人次). 老年人 中年人 青年人 满意度 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 3 6 2 4 9 0分(不满意) 1 0 6 3 4 4 (1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； (2)从这一年乘坐高铁从A市到B市的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望； (3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由． [技法点拨]　此类问题文字叙述较长，解答问题应快速锁定有效信息，其技巧是：①快速了解“无关信息”；②仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例数字、字母等)；③明确题目所求内容． 如本题(2)问中，可将“随机选取1人次，此人次为老年人”视为事件A，则随机选取2人次相当于2次独立重复试验．X表示事件A发生