第五板块 大题专攻(二) 圆锥曲线中的最值、范围问题(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　圆锥曲线中的最值、范围问题 　最值问题 [典例]　(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． [解题微“点”] 切入点 (1)由抛物线的定义可得|MF|＝p＋，即可得解； (2)设点的坐标及直线MN：x＝my＋1，由根与系数的关系及斜率公式可得kMN＝2kAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，结合根与系数的关系可解 障碍点 注意直线MN方程的设法及两角差正切公式的应用 [解]　(1)当MD⊥x轴时，有|MF|＝＋p＝3，得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)根据(1)知F(1,0)，D(2,0)． 设M，N，A，B，直线MN：x＝my＋1， 由可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4， 由斜率公式可得kMN＝＝， kAB＝＝， 直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，Δ>0，y1y3＝－8， 所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1， 所以kAB＝＝＝. 又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β， 所以kAB＝tan β＝＝， 若要使α－β最大，则β∈， 设kMN＝2kAB＝2t>0，则tan(α－β)＝＝＝≤＝， 当且仅当＝2t即t＝时，等号成立， 所以当α－β最大时，kAB＝， 设直线AB∶x＝y＋n， 代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0， Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，所以直线AB的方程为x－y－4＝0. [提分技巧]　求解圆锥曲线最值问题的2种方法 几何法 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解 代数法 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 [对点训练] 1．(2022·盐城三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 解：(1)由题设可知解得 则双曲线C的方程为－y2＝1. (2)设点M的横坐标为xM>0. 当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2﹔ 当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0， 整理得4k2＝m2＋1， 则x1＋x2＝－＝－＝－， 则xM＝＝－>0，即km<0， 则x＝＝4＋>4，即xM>2， 故此时点M到y轴的距离大于2. 综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 2．(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 解：(1)由题意，得抛物线C：x2＝2py的焦点F，圆M：x2＋(y＋4)2＝1的圆心M(0，－4)，半径是1.由点F与圆M上的点的距离的最小值为4，得＋4－1＝4，解得p＝2. (2)设A，B，P(x0，y0)．由y＝，得y′＝，所以直线PA：y－＝(x－x1)　①，直线PB：y－＝(x－x2)　②，且kAB＝＝，则直线AB：y－＝(x－x1)，即4y＝(x1＋x2)x－x1x2.将点P的坐标分别代入①②，解得x0＝，y0＝，则直线AB：2y＝x0x－2y0.所以|AB|＝＝.易知点P到直线AB的距离d＝，所以S△PAB＝d|AB|＝|x－4y0|＝(x－4y0)＝(－y－12y0－15).因为y0∈[－5，－3]，所以当y0＝－5时，S△PAB最大，最大值为20. 　范围问题 [典例]　如图，已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点(B在x轴上方)，连接BF2并延长，交椭圆C于点M. (1)若AB⊥x轴，求直线BM的方程； (2)求·的取值范围． [解题微“点”] 切入点 (1)由AB⊥x轴可得B点坐标，从而得直线BM的斜率； (2)分类讨论直线BM的斜率是否存在．若不存在，直接可得；若存在，设出BM的方程，联立方程利用根与系数的关系将·转化为代数形式 障碍点 忽视对直线BM斜率是否存在的讨论而导致答案错误，或不