第五板块 大题专攻(三) 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(三)　圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 　定点问题 [典例]　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． [解]　(1)∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)， ∴可设椭圆E的方程为＋＝1， 又椭圆E过B， ∴＋＝1，得a2＝3， ∴E的方程为＋＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由题意知，直线MN与y轴不垂直， 设其方程为x－1＝t(y＋2)． 联立得方程组消去x并整理， 得(4t2＋3)y2＋(16t2＋8t)y＋16t2＋16t－8＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝. 设T(x0，y1)． 由A，B，T三点共线，得＝， 得x0＝y1＋3. 设H(x′，y′)． 由＝， 得＝， 所以x′＝3y1＋6－x1，y′＝y1， 所以直线HN的斜率k＝ ＝＝， 所以直线HN的方程为 y－y2＝·(x－x2)． 令x＝0，得y＝·(－x2)＋y2 ＝＋y2 ＝ ＝ ＝－2. 所以直线NH过定点(0，－2)． [提分技巧]　直线过定点问题的解题模型 [对点训练] 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x. (1)求a，b的值； (2)若抛物线x2＝2py(p>0)与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点． 解：(1)由双曲线过点(，1)，有－＝1，由渐近线方程为y＝±x，有＝1，可解得a＝b＝. (2)证明：由题意，联立抛物线与双曲线的方程⇒y2－2py＋2＝0，因为抛物线与双曲线的右支相交， 因此要满足Δ＝4p2－8>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，即A，B，且x1≠x2，x1>0，x2>0， 所以有y1y2＝·＝＝2， 可得x1x2＝2p. 而直线AB的斜率为kAB＝＝， 所以直线AB的方程为y－＝(x－x1)， 即y＝·x－，又因为x1x2＝2p， 所以直线AB的方程化简为y＝·x－， 故直线过定点(0，－)． 　定值问题 [典例]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，M为椭圆C上一动点，△FAM面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M的直线l：y＝kx＋1与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP与椭圆交于点D.点Q为直线OP上一动点，且·＝2，求证：点Q到x轴距离为定值． [解题微“点”] 切入点 (1)由椭圆的几何性质求a，b，c； (2)联立方程，由根与系数的关系求解 关键点 把点M，N，P，Q，D的坐标用k表示出来，有一定的计算量 隐藏点 由于OP与椭圆有两个交点，在表示的时候用2表示，可以避免讨论点D在哪个位置 [解]　(1)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知，当点M位于椭圆的短轴端点时，△FAM的面积取得最大值，此时S△FAM＝(a＋c)b， ∴(a＋c)b＝，∴(a＋c)b＝3. 由离心率＝得a＝2c，∴b＝c， 解得c＝1，a＝2，b＝， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2) 证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0. ∵点(0,1)在这个椭圆内部，所以Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴点P的坐标为， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝－＋2＝， 当k≠0时，直线OP的斜率为－，∴直线OP的方程为y＝－x，即x＝－y， 将直线OP的方程代入椭圆方程得y＝，x＝， 设点Q，由·＝2得 －·＋·y＝＋， 化简得·y＝，化简得y＝3， ∴点Q在直线y＝3上， 当直线l的斜率k＝0时，此时P(0,1)，D(0，)， 由·＝2得Q(0,3)，也满足条件， ∴点Q在直线y＝3上； ∴点Q到x轴距离为定值． [提分技巧] 1．求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．　　 [对点训练] (2022·南通模拟)已知椭圆C：＋＝1的离心率为，A1，A2是C的上、下顶点，且|A1A2|＝2.过点P(0, 2)的直线l交C于B，D两点(异于A1, A2)，直线A1B与A2D交于点Q. (1)求C的方程； (2)证明：点Q的纵坐标为定值． 解：(1)因为|A1A2|＝2b＝2，所以b＝1， 因为e＝＝，其中c2＝a2－b2， 所以设c＝a，b2＝a2－c2＝，解得a2＝5.