第六板块 小题考法(三) 利用导数研究函数的性质(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(三)　利用导数研究函数的性质 　导数的几何意义 1．(2022·张家口模拟)已知函数f(x)＝－2x＋ln x，则函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为(　 ) A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．2x－y＋1＝0 解析：选C　因为f′(x)＝－－2＋，所以f′(1)＝－2，又f(1)＝－1，故函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，化简得2x＋y－1＝0. 故选C. 2．函数f(x)＝x3－x2＋2x－1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：选D　f′(x)＝3x2－2x＋2，故f′(1)＝3，又f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝3(x－1)＋1＝3x－2.令x＝0，则y＝－2，故切线的纵截距为－2.故选D. 3．已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x－e1－x，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为(　 ) A．y－e2＋1＝0 B．y＋1＝0 C．(e2－1)x－y＋e2－2＝0 D．2x＋y＋3＝0 解析：选D　因为f(x)为偶函数，设x<0，则－x>0，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)－e1＋x，所以f(－1)＝－1.因为当x<0时，f′(x)＝－e1＋x，所以f′(－1)＝－2，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y＋1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋3＝0. 故选D. 4．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________________________________________________________． 解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) [提分技巧] (1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标． (2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．　　 　利用导数研究函数的单调性 [讲评提能] 角度1　利用函数的单调性求参数 [典例1]　(2022·连云港模拟)已知t>0，函数f(x)＝(x＋t)ln x－tx2，当x＞1时，f(x)＋t<0恒成立，则实数t的最小值为(　 ) A. B. C. D．1 [解析]　因为x＞1时，f(x)＋t<0恒成立，所以(x＋t)ln x－tx2＋t<0在x＞1时恒成立，即xln x<(x2－ln x－1)t，在x＞1时恒成立，令g(x)＝(x2－ln x－1)t－xln x，则g′(x)＝t－1－ln x，又g′(1)＝t－1，当g′(1)<0，即0<t<1时，因为g(1)＝0，∃x0→1，g(x0)<g(1)＝0，不成立；当g′(1)≥0，即t≥1时，则 g″(x)＝t－≥2＋－＝2＋>0，所以g′(x)在(1, ＋∞)上单调递增，则g′(x)>g′(1)≥0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝0，即当t≥1时g(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，所以实数t的最小值为1.故选D. [答案]　D [提分技巧] 利用函数的单调性求参数的取值范围的思路 (1)由函数在区间[a，b]上单调递增(或递减)可知f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立； (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．　　 角度2　利用函数单调性比较大小或解不等式 [典例2]　定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，其导函数为f′(x)，对任意正实数x恒有xf′(x)>2f(－x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(log3(x2－1))＋g(－1)<0的解集是(　 ) A．(0,2) B．(－2,2) C．(－，2) D．(－2，－1)∪(1,2) [解题微“点”] 切入点 由f(x)是定义在R上的奇函数，得g(x)为奇函数，又当x>0