第六板块 大题专攻(一) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题 　利用导数研究函数的单调性 角度1　讨论函数的单调性(或区间) [典例1]　(2022·北京高考节选)已知函数f(x)＝exln(1＋x)． (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)设g(x)＝f′(x)，讨论函数g(x)在[0，＋∞)上的单调性． [解]　(1)由题意，得f′(x)＝ex·ln(1＋x)＋ex·＝ex， 故f′(0)＝e0·＝1， f(0)＝e0ln(1＋0)＝0， 因此，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x. (2)法一：g(x)＝f′(x)＝ex， 则g′(x)＝ex， 设h(x)＝ln(1＋x)＋－，x∈[0，＋∞)， 则h′(x)＝－＋＝>0， 故h(x)在[0，＋∞)上单调递增， 故h(x)≥h(0)＝1>0， 因此g′(x)>0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增． 法二：g(x)＝f′(x)＝ex， 则g′(x)＝ex， 又ex>0，当x∈[0，＋∞)时，ln(1＋x)＋－>ln 1＋>0， 故g′(x)>0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增． [提分技巧] 利用导数求函数的单调区间的三种方法 (1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间． (3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时，求导数并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．　　 角度2　根据函数的单调性求参数的取值范围 [典例2]　设函数f(x)＝ex－(ax－1)ln(ax－1)＋(a＋1)x(e为自然常数)． (1)当a＝1时，求F(x)＝ex－f(x)的单调区间； (2)若f(x)在区间上单调递增，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝1时，F(x)＝ex－f(x)＝(x－1)·ln(x－1)－2x，定义域为(1，＋∞)， F′(x)＝ln(x－1)－1，令F′(x)>0，解得x>e＋1；令F′(x)<0，解得1<x<e＋1， 故此时F(x)的单调递增区间为(e＋1，＋∞)，单调递减区间为(1, e＋1)． (2) f(x)在区间上有意义，故ax－1>0在上恒成立，可得a>e， 依题意可得f′(x)＝ex－aln(ax－1)＋1≥0在上恒成立， 设g(x)＝f′(x)＝ex－aln(ax－1)＋1，g′(x)＝ex－，易知g′(x)在上单调递增， 故g′(x)≤g′(1)＝e－<0， 故g(x)＝f′(x)＝ex－aln(ax－1)＋1在上单调递减，最小值为g(1)， 故只需g(1)＝e－aln(a－1)＋1≥0，设h(a)＝e－aln(a－1)＋1，其中a>e， 由h′(a)＝－ln(a－1)－<0，得h(a)＝e－aln(a－1)＋1在(e，＋∞)上为减函数， 又h(e＋1)＝0，故a≤e＋1. 综上所述，a的取值范围为(e, e＋1]． [提分技巧] (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围． (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．　　 [对点训练] 已知函数f(x)＝x2－aln x. (1)若函数f(x)在点(3，f(3))处切线的斜率为4，求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若函数g(x)＝ln x－f(x)－2x在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝2x－，而f′(3)＝4，即2×3－＝4，解得a＝6. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． ①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． ②当a＞0时， f′(x)＝2x－＝＝， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下： x f′(x) — 0 ＋ f(x)  极小值  由表可知，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是. (3)g(x)＝ln x－ax2－2x，于是g′(x)＝－ax－2＝－. 因为函数g(x)在[1