第六板块 大题专攻(二) 利用导数研究不等式问题(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　利用导数研究不等式问题 　不等式的证明 [典例]　已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x(a≠0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＜0时，证明：f(x)≤－－1. [解题微“点”] 切入点 (1)首先确定f(x)的定义域，求导判断f(x)的单调性； (2)当a<0时，f(x)有最大值f，要证f(x)≤－－1，只需证f≤－－1即可 障碍点 (1)解第一问时，忽视对参数的分类讨论； (2)解第二问时，不知道利用(1)的结论 关键点 解与不等式证明有关问题的关键是构造函数，并借助导数分析新函数的相关性质 [解]　(1)由f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝. 若a＜0，由f′(x)＝0得x＝－，当x∈时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0， 故函数f(x)在上单调递增， 在上单调递减； 若a＞0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0恒成立， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 综上，当a＜0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)知当a＜0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－－. 要证f(x)≤－－1，即证ln－－≤－－1，即证ln＋＋≤0， 令t＝－，因为a＜0，所以t＞0，则只需证明(ln t－t＋1)≤0. 令g(t)＝ln t－t＋1，t＞0，则g′(t)＝－1＝， 当t∈(0,1)时，g′(t)＞0，当t∈(1，＋∞)时，g′(t)＜0， 故g(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(t)≤g(1)＝0，故g(t)≤0， 即(ln t－t＋1)≤0. 因此当a＜0时，f(x)≤－－1. [提分技巧] 构造函数法证明不等式 (1)移项，使等式右边为零，左边构造为新函数． (2)求导判断单调性，通常要对参数分类讨论． (3)根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证．　　 [对点训练] (2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围； (3)设n∈N*，证明：＋＋…＋>ln(n＋1)． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝xex－ex，f′(x)＝xex， 当x>0时，f′(x)＝xex>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，f′(x)＝xex<0，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减． (2)设h(x)＝xeax－ex＋1，则h(0)＝0，又h′(x)＝(1＋ax)eax－ex，设g(x)＝(1＋ax)eax－ex， 则g′(x)＝(2a＋a2x)eax－ex， 若a>，则g′(0)＝2a－1>0， 因为g′(x)为连续不间断函数，故存在x0∈(0，＋∞)，使得∀x∈(0，x0)，总有g′(x)>0，故g(x)在(0，x0)上为增函数，故g(x)>g(0)＝0，故h(x)在(0，x0)上为增函数，故h(x)>h(0)＝－1，与题设矛盾． 若0<a≤，则h′(x)＝(1＋ax)eax－ex＝eax＋ln(1＋ax)－ex，下证：对任意x>0，总有ln(1＋x)<x成立， 证明：设S(x)＝ln(1＋x)－x，故S′(x)＝－1＝<0，故S(x)在(0，＋∞)上为减函数，故S(x)<S(0)＝0，即ln(1＋x)<x成立． 由上述不等式有eax＋ln(1＋ax)－ex<eax＋ax－ex＝e2ax－ex≤0，故h′(x)≤0总成立，即h(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以h(x)<h(0)＝－1. 当a≤0时，有h′(x)＝eax－ex＋axeax<1－1＋0＝0，所以h(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以h(x)<h(0)＝－1. 综上，a的取值范围为. (3)证明：由(2)知当a＝，x>0时，xex－ex<－1，所以x<ex－. 令ex＝t，t>1，则x＝2ln t，所以2ln t<t－，t>1. 取t＝(n∈N*)， 则2ln t＝ln(n＋1)－ln n< －＝， 所以＋＋…＋>ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln(n＋1)－ln n＝ln(n＋1)，故结论得证． 　不等式恒成立问题 [典例]　已知函数f(x)＝(x＋a)ln x－x2－ax＋a－1. (1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)＞aln x－x2－2x在(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值． [解题微“点”] 切入点 (1)问直接求导判断函数f(x)的单调区间． (2)问看到求整数a的最大值，想到分离参数a，然后构造函数，利用导数及函数的性质求解 迁移点 把f(x)＞al