第六板块 大题专攻(三) 利用导数研究函数零点问题 (Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(三)　利用导数研究函数零点问题　　　 　证明或判断函数零点个数问题 [典例]　已知函数f(x)＝2ex(x＋1)－xsin x－kx－2，k∈R. (1)若k＝0，求曲线y＝f(x)在x＝0处切线的方程； (2)讨论函数f(x)在[0，＋∞)上零点的个数． [解]　(1)当k＝0时，f(x)＝2ex(x＋1)－xsin x－2，f′(x)＝2ex(x＋2)－sin x－xcos x， 则曲线y＝f(x)在x＝0处切线的斜率为f′(0)＝4， 又f(0)＝0，故切点为(0, 0)，因此切线方程为y＝4x. (2)首先证明：当x≥0时，ex≥x＋1. 证明：设g(x)＝ex－(x＋1)，x≥0，则g′(x)＝ex－1≥0，g(x)单调递增， 于是g(x)≥g(0)＝0，即原不等式得证． f′(x)＝2ex(x＋2)－sin x－xcos x－k，f″(x)＝2ex(x＋3)－2cos x＋xsin x， 当x≥0时，f″(x)≥2ex(x＋3)－2－x≥2(x＋1)·(x＋3)－2－x＝2x2＋7x＋4>0， 故f′(x)在[0，＋∞)上单调递增． 若k≤4，则当x≥0时，f′(x)≥f′(0)＝4－k≥0，f(x)单调递增， 又f(0)＝0，故此时f(x)有且仅有1个零点． 若k>4，则f′(0)＝4－k<0， 又f′(k)＝2ek(k＋2)－sin k－kcos k－k≥2ek(k＋2)－1－2k≥2(k＋1)(k＋2)－1－2k＝2k2＋4k＋3>0， 所以f′(x)在[0，＋∞)上存在唯一的零点x0，x0∈(0, k)， 当x∈(0, x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 又f(k)＝2ek(k＋1)－ksin k－k2－2≥2ek(k＋1)－k－k2－2≥2(k＋1)2－k－k2－2＝k2＋3k>0， 且f(0)＝0，f(x0)< f(0)＝0，因此f(x)在[0，＋∞)上有2个零点． 综上，当k≤4时，f(x)有且仅有1个零点；当k>4时，f(x)有2个零点． [提分技巧] 求解函数零点(方程根)的个数问题的步骤 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象求解．　　 [对点训练] 1．已知函数f(x)＝ex＋sin x－cos x，f′(x)为f(x)的导数． (1)证明：当x≥0时，f′(x)≥2； (2)设g(x)＝f(x)－2x－1，证明：g(x)有且仅有2个零点． 证明：(1)由f′(x)＝ex＋cos x＋sin x， 设h(x)＝ex＋cos x＋sin x， 则h′(x)＝ex－sin x＋cos x， 当x≥0时，设p(x)＝ex－x－1，q(x)＝x－sin x， ∵p′(x)＝ex－1≥0，q′(x)＝1－cos x≥0，∴p(x)和q(x)在[0, ＋∞)上单调递增， ∴p(x)≥p(0)＝0，q(x)≥q(0)＝0，∴当x≥0时，ex≥x＋1，x≥sin x， 则h′(x)＝ex－sin x＋cos x≥x＋1－sin x＋cos x＝(x－sin x)＋(1＋cos x)≥0， ∴函数h(x)＝ex＋cos x＋sin x在[0, ＋∞)上单调递增， ∴h(x)≥h(0)＝2，即当x≥0时，f′(x)≥2. (2)由已知得g(x)＝ex＋sin x－cos x－2x－1， ①当x≥0时， ∵g′(x)＝ex＋cos x＋sin x－2＝f′(x)－2≥0，∴g(x)在[0, ＋∞)上单调递增， 又∵g(0)＝－1<0，g(π)＝eπ－2π>0，∴由零点存在定理可知g(x)在[0, ＋∞)上仅有一个零点； ②当x<0时，设m(x)＝(x<0)，则m′(x)＝≤0， ∴m(x)在(－∞， 0)上单调递减， ∴m(x)>m(0)＝1， ∴ex＋cos x＋sin x－2<0，∴g′(x)＝ex＋cos x＋sin x－2<0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减， 又∵g(0)＝－1<0，g(－π)＝e－π＋2π>0，∴由零点存在定理可知g(x)在(－∞，0)上仅有一个零点， 综上所述，g(x)有且仅有2个零点． 2．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 解：(1)f′(x)＝ex－a，g′(x)＝a－. ①若a≤0，f′(x