第六板块 大题专攻(四) 解决极值点偏移问题的四大技法(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(四)　解决极值点偏移问题的四大技法 一、极值点不偏移 已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(x1，x2)上有且只有一个极值点x0，且f(x1)＝f(x2)，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点x0＝，我们称这种状态为“极值点不偏移”(如图1)． 二、极值点偏移 已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(x1，x2)上有且只有一个极值点x0(即y＝f(x)为单峰函数)且f(x1)＝f(x2)，若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点x0≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”(如图2)． 极值点偏移问题是近几年高考命题的热点，这类试题可以很好地考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，涉及函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，着力考查逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养． 三、极值点偏移问题的四种基本题设形式 (1)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2＞2x0(x0为函数f(x)的极值点)． (2)对于函数f(x)，存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞2x0(x0为函数f(x)的极值点)． (3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝，求证：f′(x0)＞0. (4)对于函数f(x)，存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求证：f′(x0)＞0. 技法一　构造对称和(或差) 对称变化主要用来解决与两个极值点之和或差相关的不等式的证明问题． [典例]　已知函数f(x)＝ln(x－1)－(x－1)2，如果x1＜x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＞4. [证明]　函数f(x)＝ln(x－1)－(x－1)2的定义域为(1，＋∞)，f′(x)＝，当1＜x＜2时，f′(x)＞0；当x＞2时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(2，＋∞)，所以函数f(x)在x＝2处取得极大值，因为x1＜x2，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＜2＜x2.构造函数F(x)＝f(2＋x)－f(2－x)＝ln(1＋x)－(x＋1)2－，－1<x<1， 则F′(x)＝≥0，F(x)在(－1,1)上单调递增，因此x>0时，F(x)＞F(0)＝0，即f(2＋x)＞f(2－x)． 因为x2－2＞0，所以4－x2＜2，因此f(x1)＝f(x2)＝f[2＋(x2－2)]＞f[2－(x2－2)]＝f(4－x2)，因为f(x)在(1,2)上单调递增，所以x1＞4－x2，所以x1＋x2＞4. [提分技巧] 构造对称和(或差)的步骤 (1)定极值点：即利用导函数求出函数的极值点x0. (2)对称构造：即根据极值点x0构造对称函数F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)或F(x)＝f(x)－f(2x0－x)． (3)比较大小：即利用导数讨论函数F(x)的单调性，判断其符号，进而得到f(x0＋x)与f(x0－x)或者f(x)与f(2x0－x)的大小关系． (4)转化所证：即根据函数f(x)的单调性，将f(x0＋x)与f(x0－x)或者f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为两个极值点之间的大小关系，进而得到所证或所求．　　 [对点训练] 已知函数f(x)＝ln x－ax2(a∈R)． (1)若函数f(x)的极大值为－，求a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x1)＝f(x2)，且x1＜x2，求证：x1＋x2＞4a. 解：(1)函数f(x)＝ln x－ax2的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax，当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)无极值，不合题意，舍去，所以a＞0， f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0，得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0； 当x＞时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，所以f(x)在x＝处取得极大值f＝－ln 2a－＝－，所以a＝. (2)证明：由(1)可得f(x)＝ln x－x2，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，f(x)的极大值点为x＝1.因为f(x1)＝f(x2)，且x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2，构造函数F(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，其中－1＜x＜1，则F(x)＝ln(1＋x)－(1＋x)2－，F′(x)＝≥0，则F(x)在(－1,1)上单调递增，所以当x＞0时，F(x)＞F(0)＝0，即f(1＋x)＞f(1－x)．因为x2－1＞0，所以2－x2＜1，因此f(x1)＝f(x2)＝f[1＋(x2－1)]＞f[1－(x2－1)]＝f(2－x2)，因为f(x)在(0,1)上单调递增，所以x1＞2－x2，所以x1＋x2＞2，即x1＋x2>4a