第七板块 第1讲 选修4－4 坐标系与参数方程(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第七板块|选修模块与基础小题 集合、常用逻辑用语、复数、平面向量、不等式、排列组合、二项式定理等基础考点与4－4、4－5两个选修模块在高考中难度一般，属于保分考点．二轮复习为节省有限的备考时间，没必要在这些已会知识点上再“浪费”时间．对这些知识点，二轮复习可以“淡化”，但绝不能“淡忘”．考前，对这些考点进行适度回顾训练——保住基本分，高考才能得高分． 第1讲　选修4－4　坐标系与参数方程 　极坐标与直角坐标的互化 [典例]　(2022·许昌模拟)如图是以等边△OAB的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形，记为勒洛△OAB(勒洛三角形是德国机械工程专家，机械运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形)．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系(规定：极径ρ≥0，极角θ∈[－π，π])，已知A，B两点的极坐标分别为A，B. (1)求和的极坐标方程； (2)已知M点的极坐标M，Q是上的动点，求|MQ|2的取值范围． [解]　(1)因为所在圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4，所以的极坐标方程为ρ＝2，θ∈； 因为A的直角坐标是(，－1)， 所以所在的圆的直角坐标方程为(x－)2＋(y＋1)2＝4，所以的极坐标方程为ρ＝4cos，θ∈. (2)因为Q是上的动点， 所以设Q(ρ，θ)＝(2，θ)，θ∈， 在△OMQ中，由余弦定理得MQ2＝OQ2＋OM2－2OQ·OM·cos＝4＋2－4cos＝6－4cos， 由θ∈，得－θ∈， 所以cos∈，故|MQ|2∈. [提分技巧] (1)直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， 则 (2)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的取值范围，否则点的极坐标将不唯一． (3)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的取值范围，要注意转化的等价性． [对点训练] (2022·兰州质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为(3m＋2)x＋(m－3)y＋2m＋5＝0.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－6cos θ. (1)求曲线C的直角坐标方程，以及直线l恒过的定点的极坐标； (2)直线l与曲线C相交于M，N两点，若|MN|＝6，试求直线l的直角坐标方程． 解：(1)曲线C的极坐标方程：ρ＝4sin θ－6cos θ，得ρ2＝4ρsin θ－6ρcos θ， 由y＝ρsin θ，x＝ρcos θ，ρ2＝x2＋y2， 得曲线C的直角坐标方程：x2＋y2＝4y－6x， 即(x＋3)2＋(y－2)2＝13， 由直线l：(3m＋2)x＋(m－3)y＋2m＋5＝0，得(3x＋y＋2)m＋2x－3y＋5＝0， 设解得x＝－1，y＝1， 所以，直线l定点的极坐标为. (2)由(1)得，曲线C：(x＋3)2＋(y－2)2＝13，圆心(－3,2)，半径r＝， 由|MN|＝6，得圆心C到直线l的距离d＝2. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，经检验满足题意； 当直线l的斜率存在时，设l：y－1＝k(x＋1)， 即kx－y＋1＋k＝0. ＝2，解得k＝，直线l的方程为3x－4y＋7＝0，所以，直线l的直角坐标方程为：x＝－1或3x－4y＋7＝0. 　参数方程与普通方程的互化 [典例]　已知曲线C1的方程为＋＝1，曲线C2的参数方程为(t为参数)． (1)求C1的参数方程和C2的普通方程； (2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值． [解]　(1)曲线C1的参数方程为(θ为参数)，曲线C2的普通方程为x＋y＋8＝0. (2)设P(cos θ，sin θ)，点P到直线C2的距离为d，则|PQ|的最小值即为d的最小值，因为d＝＝，其中tan φ＝，当sin(θ＋φ)＝－1时，d的最小值为1，此时|PQ|min＝1. [提分技巧] (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围．　　 [对点训练] 在同一直角坐标系xOy中，经过伸缩变换后，曲线C1：＋y2＝1变成曲线C2. (1)求曲线C2的参数方程； (2)设A(2，)，点P是C2上的动点，求△OAP面积的最大值，及此时P的坐标． 解：(1)由伸缩变换得到　① 将①代入C1：＋y2＝1得到＋y′2＝1，　② 所以C2的参数方程为(α为参数)