巧训·特训 每天半小时(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

　自主加餐练(一) 一、7道把关小题增分练 1．在4名男生和2名女生中任意抽取4名，则抽到的4名中最多有3名男生的概率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　由题得抽到的4名学生全部是男生的概率为＝.所以抽到的4名中最多有3名男生的概率是1－＝.故选A. 2．函数f(x)＝＋xcos x在[－2π，2π]上的图象大致为(　 ) 解析：选C　首先f(－x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，故排除D；f(2π)＝2π，故排除B；当x∈时，f(x)>0，故排除A；只有C满足条件．故选C. 3．已知cos(α－β)＝，cos 2α＝，α∈，β∈(0，π)，且α＜β，则α＋β＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　∵α∈，β∈(0，π)且α<β， ∴α－β∈(－π，0)，2α∈(0，π)， ∴sin(α－β)＝－，sin 2α＝， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×＝－. 又sin(α＋β)＝sin[2α－(α－β)]＝sin 2αcos(α－β)－cos 2αsin(α－β)＝×－×＝. ∵α＋β∈，∴α＋β＝.故选B. 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，A，B，C，D是该三棱锥表面上四个点，则直线AC和直线BD所成角的余弦值为(　 ) A．0 B. C．－ D. 解析：选A　由三视图可得如图所示的几何体，BG⊥AG，BG⊥DG，AG∩DG＝G，则BG⊥平面AGD，又AC⊂平面AGD，则BG⊥AC，而AC⊥GD，由BG∩GD＝G，则AC⊥平面BGD，又BD⊂平面BGD， 所以AC⊥BD，故直线AC和直线BD所成角的余弦值为0. 5．我们把短边与长边之比为的矩形称为黄金分割矩形，黄金分割矩形看起来比较“和谐”，日常生活中的矩形用品(如书本、课桌、衣柜)和建筑物中的一些矩形结构(如窗户、房间等)，都常设计成黄金分割的样式，若一面积为2－2的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，另一条短边的中点为抛物线C的焦点F，则该黄金分割矩形与抛物线C的一个交点到F的距离为(　 ) A. B.－1 C. D. 解析：选D　设矩形长边长为x，短边长为y，由题可知，解得x＝2，y＝－1.由题可知p＝x＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F为(1,0)，根据对称性，不妨设矩形的一条长边y＝与抛物线交于A点，代入y2＝4x得x＝，则A到抛物线焦点F的距离为＋＝.故选D. 6．若n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是______________． 解析：Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx， 由题意此不等式组只有一解， 因此n＝10(C＝C)． 令＝0，r＝2，所以常数项为(－2)2C＝180. 答案：180 7.已知函数f(x)＝xa－aln x(a>0)，g(x)＝ex－x，若x∈(1，e2)时，f(x)≤g(x)成立，则实数a的最大值是________． 解析：由题意知当x∈(1，e2)时，f(x)≤g(x)恒成立， 即xa－aln x≤ex－x在(1，e2)上恒成立， 即eln xa－ln xa≤ex－x在(1，e2)上恒成立， 令m(x)＝ex－x(x>0)，则m′(x)＝ex－1>0， 即m(x)＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增， 则由eln xa－ln xa≤ex－x可得ln xa≤x， 即a≤在(1，e2)上恒成立， 令n(x)＝，x∈(1，e2)，有n′(x)＝， 当x∈(1，e)时，n′(x)＝<0，n(x)＝单调递减； 当x∈(e，e2)时，n′(x)＝>0，n(x)＝单调递增． 故n(x)＝，x∈(1，e2)在x＝e时取最小值n(e)＝＝e. 则由a≤在(1，e2)上恒成立，可知a≤e， 故实数a的最大值为e. 答案：e 二、一道常考大题循环练(今日练点：数列) 8．已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n(n∈N*，p∈R)． (1)求p的值及{an}的通项公式； (2)在等比数列{bn}中，b2＝a1，b3＝a2＋4，令cn＝(k∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)∵Sn＝pn2＋2n，∴an＝ ∴an＝2pn－p＋2，n∈N*，∴an＋1－an＝2p＝2， ∴p＝1，an＝3＋2＝2n＋1. (2)∵b2＝a1＝3 , b3＝a2＋4＝9， ∴q＝3，bn＝b2qn－2＝3×3n－2＝3n－1， 当n＝2k，k∈N*时，Tn＝a1＋b2＋a3＋b4＋…＋a2k－1＋b2k＝＋ ＝(3＋7＋…＋4k－1)＋ ＝＋＝k＋ ＝＋， 当n＝2k－1，k∈N*时，n＋1是偶数， Tn＝Tn