第一板块 小题考法(二) 三角恒等变换、解三角形(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(二)　三角恒等变换、解三角形 　三角恒等变换 [讲评提能] [典例]　(1)已知sin＋cos α＝，则sin＝(　 ) A. B. C．－ D．－ (2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　 ) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 [解析]　(1)sin＋cos α＝，∴sin αcos－cos αsin＋cos α＝sin α＋cos α＝，∴cos＝，∴sin＝sin [答案]　(1)D　(2)C, [提分技巧] 三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．　　 [过关训练] 1．(2022·九江模拟)已知锐角α满足4sin2α＋sin 2α＝2，则cos 2α＝(　 ) A．－ B. C. D．－ 解析：选B　由4sin2α＋sin 2α＝2得，sin 2α＝2－4sin2α＝2(1－2sin2α)＝2cos 2α，∵0<α<，∴0<2α<π，又sin 2α＝2cos 2α，∴sin 2α>0，cos 2α>0， 由得 ∴cos 2α＝.故选B. 2．已知cos α＝，sin(β－α)＝－，α，β 均为锐角，则β＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　∵α，β均为锐角，即α，β∈，∴β－α∈，∴cos(β－α)＝＝，又sin α＝＝，∴cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝，又β∈，∴β＝. 故选C. 3．(2022·郑州模拟)已知β∈，sin β＝，若3sin(α＋2β)＝sin α，则tan(α＋β)＝________. 解析：因为β∈，sin β＝，sin2β＋cos2β＝1，解得cos β＝－，所以tan β＝－，sin 2β＝－，cos 2β＝.又3sin(α＋2β)＝3sin αcos 2β＋3cos αsin 2β＝3××sin α＋3××cos α＝sin α－cos α＝sin α，所以sin α＝cos α，tan α＝. 所以tan(α＋β)＝＝＝. 答案： 　利用正、余弦定理解三角形 [讲评提能] [典例1]　在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则角B的最大值为(　 ) A. B. C. D. [解析]　设AB＝x，则x>0，由余弦定理可得cos B＝＝＝＋≥2＝，当且仅当x＝2时，等号成立，因为0<B<π，则0<B≤，所以角B最大值为.故选A. [答案]　A [典例2]　如图，在△ABC中，∠B＝，D为BC边上的点，E为AD上的点，且AE＝8，AC＝4，∠CED＝，则CE＝____________；若CD＝5， 则cos∠DAB＝________. [解题微“点”] 切入点 把CE放在△ACE中求解，求cos∠DAB，首先想到在△ABD中求解，但没有需要的条件，故只能从角的关系入手 障碍点 求cos∠DAB时，找不到头绪，想不到它与∠CDE的关系 易错点 不能正确判断cos∠CDE的符号而致误 [解析]　由题意可得∠AEC＝π－＝， 在△AEC中，由余弦定理得 AC2＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos∠AEC， 即160＝64＋CE2＋8CE， 整理得CE2＋8CE－96＝0， 解得CE＝4(负值舍去)．∵CD＝5， ∴在△CDE中，由正弦定理得 ＝， 即＝，所以sin∠CDE＝. 因为点D在BC边上， 所以∠CDE>∠B＝，而<， 所以∠CDE只能为钝角， 所以cos∠CDE＝－， 所以cos∠DAB＝cos ＝cos∠CDEcos＋sin∠CDEsin ＝－×＋×＝. [答案]　4　 [提分技巧] 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [提醒]　应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．　　 [过关训练] 1．在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若2bsin A＝a，则B＝(　 ) A. B.或 C. D.或 解析：选D　因为在△ABC中，2bsin A＝a，所以2sin Bsin A＝sin A，因为sin A≠0，所以sin B＝，又B∈(0，π)，所以B＝或B＝.故选D. 2．(2022·