第三板块 大题专攻(一) “立体几何”大题的考法研究(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　“立体几何”大题的考法研究 　直线与平面所成的角 [典例]　如图，已知圆台O1O的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为，AA1，BB1为母线，平面AA1O1O⊥平面BB1O1O，M为BB1的中点． (1)证明：平面ABB1⊥平面AOM； (2)当点P为线段AM的中点时，求直线AM与平面OPB所成角的正弦值． [解]　(1)证明：过点B1作平面AOB的垂线，垂足为C，如图1，则C是OB的中点，所以BC＝1. 又∠OBB1＝，所以BB1＝2. 连接OB1，因为BB1＝OB＝2，所以△OBB1为等边三角形． 因为点M为BB1的中点，所以BB1⊥OM， 因为平面AA1O1O⊥平面BB1O1O，平面AA1O1O∩平面BB1O1O＝OO1，且AO⊥OO1，AO⊂平面AA1O1O， 所以AO⊥平面BB1O1O. 因为BB1⊂平面BB1O1O，所以AO⊥BB1. 又因为AO∩OM＝O，AO⊂平面OMA，OM⊂平面OMA，所以BB1⊥平面OMA. 因为BB1⊂平面ABB1，所以平面ABB1⊥平面AOM. (2)以O为坐标原点，OA, OB, OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则A(2, 0, 0)，B(0, 2,0)，B1(0, 1, )，M，P，＝，＝(0, 2, 0)， 设平面OPB的一个法向量为n＝(x, y, z)，则即取z＝4，得x＝－3，y＝0，所以n＝(－3,0, 4)， 又＝，所以cos〈，n〉＝＝＝， 所以直线AM与平面OPB所成角的正弦值为. [提分技巧]　利用空间向量求线面角的解题模型 [对点训练] 1.(2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 解：(1)证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1. 又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形． 又BC＝OB＝1， 所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD， 又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA. (2)由(1)知BD⊥AD，又AB＝2AD，所以∠DAO＝60°， 所以三角形ADO为正三角形． 过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，P(0,0，)，D(0,0,0)． 则＝(0,2,0)，＝，＝(0,0，)． 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝(2,0,1)． 设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝， 所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为. 2.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点． (1)证明：AC⊥BD； (2)记二面角A1-AC-B的大小为θ，θ∈时，求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围． 解：(1)证明：如图，取AC的中点M，连接DM，BM， 在等腰梯形ACC1A1中，D，M分别为A1C1，AC的中点，∴AC⊥DM，在正△ABC中，M为AC的中点，∴AC⊥BM，∵AC⊥DM，AC⊥BM，DM∩BM＝M，DM，BM⊂平面BDM， ∴AC⊥平面BDM，又BD⊂平面BDM，∴AC⊥BD. (2)∵AC⊥平面BDM， 在平面BDM内作Mz⊥BM，以M为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴正方向， 如图建立空间直角坐标系， ∵DM⊥AC，BM⊥AC，∴∠DMB为二面角A1-AC-B的平面角， 即∠DMB＝θ， A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，D，C1， A1， ＝(1，，0)，＝， 设平面BB1C1C的法向量为n＝(x，y，z)， 则有 即 则可取n＝，又＝， 设直线AA1与平面BB1C1C所成角为α， ∴sin α＝|cos〈，n〉|＝＝， ∵θ∈，∴cos θ∈， ∴sin α∈，即直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围为. 　二面角 [典例]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2. (1)求证：MN∥平面BDE. (2)求二面角C-EM-N的正弦值． [解]　(1)证明：取AB中点F，连接MF，NF， 因