2023届北京市高考数学模拟试题

2023年北京市高考数学模拟试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若集合，，则 A． B． C． D． 2.设复数满足，则 A． B． C． D． 3.双曲线的两条渐近线所成锐角的大小等于 A． B． C． D． 4.的展开式的二项式系数之和为8，则二项式展开式中的常数项等于 A．4 B．6 C．8 D．10 5.在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为 A． B． C． D． 6.已知函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 7.宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．它广泛出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，，，那么的值为 A． B． C． D． 8.设为等比数列，若，，，，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9.已知圆：与直线：，为直线上一动点.若圆上存在点，使得，则的最大值为 A． B．4 C．2 D． 10.《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个壍堵，再沿平面截壍堵可得一个阳马（四棱锥），一个鳖臑（三个棱锥），若为线段上一动点，平面过点，平面，设正方体棱长为，，与图中鳖臑截面面积为，则点从点移动到点的过程中，关于的函数图象大致是 A． B． C． D． 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。 11.的零点为________． 12.正方形中，，为中点，为中点，则_______；若为上的动点，则的最大值为_________. 13．已知函数(其中为实数),若对恒成立,则满足条件的值为______________(写出满足条件的一个值即可) 14.已知抛物线C：的焦点为，则抛物线C的方程是________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝________． 15.小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间（月）的关系的散点图．有以下叙述： ①与函数相比，函数作为近似刻画与的函数关系的模型更好； ②按图中数据显现出的趋势，第个月时，浮萍的面积就会超过； ③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍； ④按图中数据显现出的趋势，浮萍从月的蔓延到至少需要经过个月． 其中正确的说法有__________（填序号）． 三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题共13分） 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 17.（本小题共13分） 在中，，，_________.求的值.从①， ②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题共14分） 某大学为调研学生在，两家餐厅用餐的满意度，从在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分. 整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表： 定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下： 分数 满意度指数 （Ⅰ）在抽样的100人中，求对餐厅评价“满意度指数”为0的人数； （Ⅱ）从该校在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率； （Ⅲ）如果从，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由. 19.（本小题共15分） 已知椭圆过点，且离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程. 20.（本小题共15分） 已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围. 21.（本小题共15分