第九章 第九节 第1课时　范围与最值问题-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

第九节　圆锥曲线中的综合问题

第1课时　范围与最值问题

[对应学生用书P206]

考点一　范围问题(师生共研)

　(2022·泉州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．

[解析]　(1)因为原点到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，

所以2＋2＝b2(b>0)，解得b＝1.

又e2＝＝1－＝，解得a＝2.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.

当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程Error!得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.

由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，

所以y1y2＝.

λ＝|MA|·|MB|＝|y1|·|y2|

＝(m2＋1)·|y1y2|＝＝12.

由m2>12，得0<<，所以<λ<12.

综上，λ的取值范围是.

[方法策略]

解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等

量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

解析　(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，

故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.

由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由Error!

得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

Δ>0恒成立，则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝|x1－x2|＝.

过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，

点A到m的距离为，

所以|PQ|＝2＝4.

故四边形MPNQ的面积

S＝|MN||PQ|＝12.

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．当l与x轴垂直

时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．

考点二　最值问题(多维探究)

角度一　几何法求最值

　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.

(1)求C的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．

[解析]　(1)由题意可知直线AM的方程为

y－3＝(x－2)，

即x－2y＝－4.

当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4.

由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)，

可得＋＝1，解得b2＝12.

所以C的方程为＋＝1.

(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m.

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．

联立Error!可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，

化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，

所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，

即m2＝64，解得m＝±8，

与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，