2023年辽宁省鞍山市中考数学（巩固基础）专题讲义 圆

2023年辽宁省鞍山市中考数学（巩固基础）专题讲义 圆 第一部分：考点解读 一 、 圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 （1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧． （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． （6）弦心距：圆心到弦的距离． 【注意】 （1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条； （2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个． 任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆． 二 、垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．推论： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 三 、圆心角、弧、弦的关系 1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立． 2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 四 、圆周角定理及其推论 1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论： （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）直径所对的圆周角是直角． 【注意】圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 1．求每一条弧长的时候找准该弧长所对的圆心角并确定其度数，然后确定半径的长度，再利用公式即可求出. 2．计算弧长的有关要点： （1）在弧长计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. （2）若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长. （3）题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示. （4）正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念:度数相等的弧，弧长不一定相等;弧长相等的弧不一定是等弧；只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 五 、与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙O内； (2)d=r⇔点在⊙O上； (3)d>r⇔点在⊙O外． 【注意】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 2．直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 【注意】由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 六 、切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点． （2）切线到圆心的距离等于圆的半径． （3）切线垂直于经过切点的半径． 【注意】利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 七 、与圆有关的面积计算公式（重点） 1．弧长和扇形面积的计算 扇形的弧长l=；扇形的面积S==． 2．圆锥与侧面展开图 （1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． （2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=． 圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）． 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 1．解答本考点的有关题目，关键在于掌握扇形的面积公式同时注意以下要点： （1）切线的性质和判定； （2）求不规则的图形（阴影部分）的面积，可以设法转化成几个规则的图形的面积的和或者差来求. 2．计算扇形面积的有关要点 （1）求扇形阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积. （2）求扇形阴影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和差法；