专题21 立体几何之夹角、距离问题（典型例题+跟踪训练）-【解答题抢分专题】备战2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题21 立体几何之夹角、距离问题 目录一览 一、典型例题讲解 二、梳理必备知识 三、基础知识过关 四、解题技巧实战 五、跟踪训练达标 （1）面面夹角 （2）线面夹角 （3）点到线的距离 （4）点到面的距离 六、高考真题衔接 一、典型例题讲解 【典例1】1．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 【典例2】2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点，点在上，且平面.若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【典例3】3．如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点. （1）求点N到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【典例详解】 【典例1】【分析】以D为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，当三棱锥体积最大时，M为的中点，然后利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】以D为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点. 由题设得， 设是平面MAB的法向量，则 即，可取. 是平面MCD的一个法向量，因此， 由图可知面MAB与面MCD所成二面角为锐角， 则面MAB与面MCD所成二面角的余弦值为， 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是. 【典例2】【分析】根据线面垂直可得线线垂直，由线线垂直建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解平面法向量，即可利用方向向量与法向量的夹角求解线面角. 【详解】因为底面是菱形，是的中点，， 因为，则， 由余弦定理可得， 所以，所以. 因为平面，平面，平面， 所以，， 以点为坐标原点，,,所在直线分别为,,轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 连接交 于,由于,所以, 由于平面，平面，且平面与平面的交线为,所以,进而可得, 则，，，. 设，，则， 所以. 因为，所以，解得. 所以，，. 设为平面的法向量， 则，得， 取，所以为平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 【典例3】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得空间向量的坐标，然后由求点N到直线的距离； （2）求得平面的一个法向量为及向量的坐标，然后利用求点到平面的距离. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∵N是的中点， ∴. （1），则. 设点N到直线的距离为， 则. （2）设平面的一个法向量为，则由， 得，令，则，即. 易知，设点到平面的距离为， 则. 解题技巧：用向量法解决关于面的问题基本都是需要法向量的辅助，求空间角的正余弦值的时候，注意二面角，线面角所成角与两向量间夹角的联系与区别！ 二、梳理必备知识 1.空间中的角 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 2.空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． ， 三、解题技巧实战 【技巧实战1】1．如图，在四棱锥P－ABCD中，，AB⊥BC，，，E为AB的中点． (1)证明：BD⊥平面APD； (2)求平面APD和平面CEP的夹角的余弦值． 【技巧实战2】2．如图，已知多面体中，均垂直于平面,，，.请用空间向量的方法解答下列问题：求直线与平面所成的角的正弦值. 【技巧实战3】3．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． （1）求点M到直线AC1的距离； （2）求点N到平面MA1C1的距离． 四、跟踪训练达标 面面夹角 1．（2023·全国·浮梁县第一中学校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，为棱上一点，，四边形为矩形，且平面. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 2．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知多面体中，，且，， (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值． 3．（2023·云南昆明·统考一模）如图，直四棱柱中，是等边三角形， (1)从三个条件：①；②