2023年辽宁省鞍山市中考数学（巩固基础）专题讲义 反比例函数与一次函数

2023年辽宁省鞍山市中考数学（巩固基础）专题讲义 反比例函数与一次函数 第一部分：考点解读 一、正比例函数的概念 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数． 二、一次函数 1.一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 一次函数的一般形式的结构特征：学&科网 （1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数. 3.注意 （1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. （2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数. （3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数． （4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. （5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程. 三、一次函数的图象及性质 1．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 2.一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点． ③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点； ④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 四、反比例函数的概念 1．反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数． 五、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质 （1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 2．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 3．注意 （1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续