专题20 拓展探究问题-学易金卷：2023年中考数学一模试题分项汇编（全国通用）

专题20 拓展探究问题 1．（2023·广西南宁·统考一模）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示． (1)操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是 ； (2)类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证； (3)拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形的面积． 2．（2023·山东泰安·统考一模）已知点O是线段的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”． (1)[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”和的数量关系是_________． (2)[探究证明]如图2，当点P是线段上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． (3)[拓展延伸]如图3， ①当点P是线段延长线上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由； ②若，求证：． 3．（2023·河南周口·校联考一模）【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角△ADE，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰△ABC中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰△ADE，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 4．（2023·湖北黄石·校联考一模）阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值． 5．（2023·山东青岛·统考一模）【问题提出】 正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？ 【问题探究】 如图①，△ABC是等边三角形，半径，是中心角，是△ABC内任意一点，到△ABC各边距离、、分别为，设△ABC的边长是，面积为．过点作． ∴，，， ∴，① ∵又可以表示② 联立①②得 ∴ ∴ 【问题解决】 如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系． 【性质应用】 （1）正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和_______． （2）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和______． 6．（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是⊙O的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 即．    (1)【理解运用】如图1，、是⊙O的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】如图4，是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，⊙O的半径为5，则AD＝ ． 7．（2023·山西晋中·统考一模）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在中，，，的对边分别为a、b、c，的面积为，过点A作，垂足为D，则在中， ∵ ∴ ∴ 同理可得，， 即……………① 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又∵ ∴将等式两边同除以，得， ∴…………………② 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 理解应用：如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15