第八章 第2节 简单几何体的表面积与体积-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　简单几何体的表面积与体积 课标解读：知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 考向预测：近三年高考考查了空间几何体的体积及外接球的相关知识．预计2024年高考会继续考查空间几何体的体积，涉及空间几何体的结构特征、直观图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，主要以选择题或填空题的形式出现，难度不大. 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1．求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积． 2．求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系． 3．棱锥平行于底的截面的性质 在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系： ＝＝＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比． 这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式． 4．有关棱柱直截面问题 在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上、下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式： S棱柱侧＝C直截l(其中C直截，l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长)，V棱柱＝S直截l(其中S直截，l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长)． 5．(1)正方体与球的切、接常用结论(正方体的棱长为a，球的半径为R) ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝ . (3)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜三棱柱的侧面积也可以用c·l来求解，其中c是底面周长，l为侧棱长．(　　) (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积．(　　) (3)底面积相等且高相等的两个同类几何体的体积相等．(　　) (4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．小题热身 (1)已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为(　　) A.2π B.3π C.4π D.5π 答案　C 解析　设圆锥的母线长为l，则l·＝2π，解得l＝3，则该圆锥的表面积为π×1×3＋π×12＝4π.故选C. (2)(2022·天津市新华中学模拟)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积比是(　　) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶3 D．3∶4 答案　A 解析　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，因为V球＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，所以V球∶V圆柱＝πR3∶2πR3＝2∶3.故选A. (3)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 答案　C 解析　台体的体积公式为(S上＋＋S下)×h，由条件可得，S下＝180×106 m2，S上＝140×106 m2，h＝157.5－148.5＝9(m)，代入可得台体的体积为3×106×(320＋60)≈1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C. (4)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°，若BD＝1，则三棱锥D－ABC的表面积为________. 答案　 解