第一章 第3节 全称量词与存在量词-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第三节　全称量词与存在量词 课标解读：1.理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定． 考向预测：高考对全称量词与存在量词的考查频率不高，一般以选择题形式考查，一是直接判断全称量词与存在量词命题的真假以及已知真假求参数，多数以命题为载体考查已学过的其他知识点；二是考查含有全称量词与存在量词命题的否定.2024年备考仍以选择题为主训练，加强对命题的否定、真假判断、求参数等的训练． 必备知识—强基础 知识梳理 1．全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 2．全称量词命题与存在量词命题及其否定 名称 形式 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 2．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定． 3．命题p与綈p的真假性相反． 4．常见的一些词语和它的否定词语如下表： 原词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 任意(所有) 至多有一个 至少有一个 否定词语 不等于(≠) 小于等于(≤) 大于等于(≥) 不是 不都是 某个 至少有两个 一个都没有 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∉R，x2＜0”．(　　) (2)“自然数是正整数”是全称量词命题．(　　) (3)∀x∈R，x2>0.(　　) (4)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，綈p(x)”的真假性相反．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)(2022·山东枣庄一模)命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为(　　) A．∀n∈Z，n∉Q B．∀n∈Q，n∈Z C．∃n∈Z，n∈Q D．∃n∈Z，n∉Q 答案　D 解析　命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为“∃n∈Z，n∉Q”．故选D. (2)命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　) A．有些三角形不是等腰三角形 B．有些三角形可能是等腰三角形 C．所有三角形都不是等腰三角形 D．所有三角形都是等腰三角形 答案　C 解析　“有些三角形是等腰三角形”的否定是“所有三角形都不是等腰三角形”． (3)(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 答案　AC 解析　对于A，其否定为∀x∈R，x2－x＋≥0，是全称量词命题，又x2－x＋＝≥0，所以为真命题，故符合题意；对于B，其否定为存在量词命题，故不符合题意；对于C，其否定为全称量词命题，又x2＋2x＋2＞0，则原命题为假命题，即其否定为真命题，故符合题意；对于D，其否定为：对于任意实数x，都有x3＋1≠0，而x＝－1时，x3＋1＝0，所以其否定不是真命题，故不符合题意．故选AC. (4)(2023·重庆南开中学模拟)若命题“∃x∈[1，2]，2x＋x－a≤0”为真命题，则实数a的取值范围为________． 答案　[3，＋∞) 解析　因为∃x∈[1，2]，2x＋x－a≤0，所以a≥(2x＋x)min，x∈[1，2]，显然y＝2x＋x在x∈[1，2]上单调递增，所以a≥21＋1＝3，即实数a的取值范围为[3，＋∞)． 考点探究—提素养 考点一　全称量词命题、存在量词命题真假的判断 例1　(多选)(2022·黑龙江齐齐哈尔三模)已知0<b<a<1，下列命题中是真命题的是(　　) A．∀x∈(0，＋∞)，ax＞bx B．∀x∈(0，1)，logax＞logbx C．∃x∈(0，1)，xa＞xb D．∃x∈(0，b)，ax＞logax 答案　AB 解析　由0＜b＜a＜1得＞1，∀x∈(0，＋∞)，＝>＝1，则ax＞bx，A正确；∀x∈(0，1)，logxa－logxb＝logx＜logx1＝0，即0＜logxa＜logxb，则logax＞logbx，B正确；函数y＝mx(0＜m＜1)在(0，1)上为减函数，而0＜b＜a＜1，则ma＜mb，即∀x∈(0，1)，xa＜xb，C错误；当x∈(0，b)时，ax＜1，logax＞logab＞logaa＝1，即ax＜logax，D错误．故选AB. 通性通法 判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；判定存在量词命题