第一章 第2节 充分条件与必要条件-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　充分条件与必要条件 课标解读：1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 考向预测：新高考对充分、必要条件考查的频率比较低，一般与其他知识交汇考查，难度为中等偏易.2024年备考仍以选择题为主训练，主要涉及充分、必要条件的判断，可能会与集合的子集、函数、数列、三角的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系的判定等相关知识结合考查． 必备知识—强基础 知识梳理 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p与q的关系 结论 p⇒q p是q的充分条件 p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p p是q的必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件． 1．在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围，如x＞5(小范围)⇒x＞4(大范围)，但x＞4(大范围) x＞5(小范围)． 2．以下说法是等价的：(1)p⇒q；(2)p是q的充分条件；(3)q是p的必要条件；(4)q的充分条件是p；(5)p的必要条件是q. 诊断自测 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分不必要条件．(　　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　) (4)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　) (5)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2．小题热身 (1)(2022·天津高考)“x为整数”是“2x＋1为整数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由题意，若x为整数，则2x＋1为整数，故充分性成立；当x＝时，2x＋1为整数，但x不为整数，故必要性不成立，所以“x为整数”是“2x＋1为整数”的充分不必要条件．故选A. (2)“a＞b”是“ac2＞bc2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当a＞b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>bac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a＞b，所以ac2＞bc2⇒a＞b，即“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件． (3)已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，2] 解析　由已知可得{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，所以a≤2. (4)(2023·四川绵阳南山中学模拟)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空) 答案　必要不充分 解析　若α＝，β＝，则满足sinα＝sinβ，而不满足α＝β；当α＝β时，sinα＝sinβ一定成立，所以“sinα＝sinβ”是“α＝β”的必要不充分条件． 考点探究—提素养 考点一　充分条件、必要条件的判断 例1　(1)(2022·浙江高考)设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由sin2x＋cos2x＝1可得，当sinx＝1时，cosx＝0，充分性成立；当cosx＝0时，sinx＝±1，必要性不成立．所以当x∈R时，“sinx＝1”是“cosx＝0”的充分不必要条件．故选A. (2)(2023·河北石家庄模拟)已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若a＝b＝c，则a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋bc＋ac＝3a2，即a＝b＝c⇒a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，满足充分性；若a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，则2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac，所以a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c