第三章 微专题4 嵌套函数的零点问题-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 函数的零点问题是高考命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　嵌套函数零点个数的判断 　(1)(2022·浙江湖州期末)下列四个函数中，使得方程f(f(x))＝x的实根个数恰为4的是(　　) A．f(x)＝2x2＋x B．f(x)＝2x C．f(x)＝ D．f(x)＝|3x－1| 答案　D 解析　对于A，∵2[f(x)]2＋f(x)＝x⇒2(2x2＋x)2＋(2x2＋x)＝x，∴x2(2x2＋2x＋1)＝0，∴x＝0，故A错误；对于B，2f(x)＝x⇒2x＝log2x，方程不可能有四个解，故B错误；对于C，＝x⇒x9＝x⇒x＝1或x＝－1，故C错误；对于D，|3f(x)－1|＝x⇒3f(x)－1＝x或3f(x)－1＝－x，∴3|3x－1|＝x＋1或3|3x－1|＝1－x，解得x＝或x＝或x＝或x＝，故D正确．故选D． (2)(2023·河北张家口月考)已知定义域为(0，＋∞)的增函数f(x)满足∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　A 解析　因为定义域为(0，＋∞)的增函数f(x)满足∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则存在唯一正实数t使得f(t)＝1，且f(x)－ln x＝t，即f(x)＝t＋ln x，于是得f(t)＝t＋ln t＝1，而函数y＝t＋ln t在(0，＋∞)上单调递增，且当t＝1时，t＋ln t＝1，因此t＝1，f(x)＝1＋ln x，方程f(x)＝－x2＋4x－2⇔1＋ln x＝－x2＋4x－2⇔ln x＝－x2＋4x－3，于是得方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数是函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象公共点的个数，在同一坐标系内作出函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象如图，观察图象知，函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象有3个公共点，所以方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为3．故选A． (3)(2022·辽宁沈阳期中)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－2的零点个数为(　　) A．3 B．4 C．2 D．1 答案　A 解析　令μ＝f(x)，令g(x)＝0，则f(μ)－2＝0，当μ＞1时，则f(μ)＝ln (μ－1)，所以ln (μ－1)－2＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f(μ)＝－μ＋1－2＝0，则μ＝－1，作出函数μ＝f(x)的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f(x)的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f(x)的图象有2个交点，因此函数g(x)有3个零点．故选A． 方法总结　(1)通过直接解关于x的方程f(g(x))＝0进行求解． (2)通过画出函数f(g(x))的图象，并判断该函数的图象与x轴的交点个数进行求解． (3)将方程f(g(x))＝0构造成h(x)＝u(x)形式，即转化为函数h(x)，u(x)的图象交点个数进行求解． (4)换元法：令t＝g(x)，设f(t)＝0的实根为ti(i＝1，2，…)，则f(g(x))＝0的实根个数等价于直线y＝ti与函数g(x)图象的交点个数总和或关于x的方程ti＝g(x)的实根个数总和．即首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数． 对点训练 1．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　由g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2＝0，得f(x)＝2或f(x)＝－．当x≥0时，f′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝4－6＋1＝－1．又x＜0时，f(x)＝ex，画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2的零点个数为3．故选B． 2．(2022·浙江高考模拟)若f(x)和g(x)是定义在实数集R上的函数，且方程x－f(g(x))＝0有实数解，则g(f(x))不可能是(　　) A．ex－1 B．cos x C．|x|＋1 D． 答案　C 解析　设s为x－f(g(x))＝0的实数解，即f(g(s))＝s，令g(s